Để tìm phương trình đường tròn C có tâm I(-2;3) và tiếp xúc với đường thẳng ∆:x-2y+7=0, ta có thể sử dụng phương pháp đặt tọa độ tâm đường tròn là (a,b) và giải hệ phương trình để tìm a và b.
Gọi tọa độ điểm tiếp xúc của đường tròn và đường thẳng là (x0,y0). Ta có:

Đường thẳng ∆ có véc-tơ pháp tuyến là n=(1,-2), do đó véc-tơ pháp tuyến của đường thẳng vuông góc với ∆ là v=(-2,-1).
Vì đường tròn C tiếp xúc với ∆ nên vectơ kết nối tâm đường tròn và điểm tiếp xúc vuông góc với đường thẳng ∆. Do đó, vectơ kết nối tâm đường tròn và điểm tiếp xúc là một bội số của v.
Tâm đường tròn C có tọa độ là (-2,3).
Gọi (a,b) là tọa độ của điểm tiếp xúc của đường tròn và đường thẳng. Khi đó, vectơ kết nối tâm đường tròn và điểm tiếp xúc là:
(a+2, b-3)
Vì vectơ này vuông góc với v=(-2,-1), ta có:
(-2)(a+2) + (-1)(b-3) = 0
Simplifying:
-2a - 4 - b + 3 = 0
-2a - b = 1
Do đường tròn C có tâm là (-2,3) nên phương trình đường tròn C có dạng:
(x+2)^2 + (y-3)^2 = r^2
Trong đó, r là bán kính của đường tròn.
Vì đường tròn C tiếp xúc với đường thẳng ∆ nên khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng ∆ bằng bán kính của đường tròn. Ta có công thức tính khoảng cách từ một điểm (x0,y0) đến đường thẳng ax + by + c = 0:
d = |ax0 + by0 + c| / √(a^2 + b^2)
Áp dụng công thức này với điểm (-2,3) và đường thẳng ∆: x - 2y + 7 = 0, ta có:
d = |1(-2) - 2(3) + 7| / √(1^2 + (-2)^2)
Simplifying:
d = 2 / √5
Vậy bán kính của đường tròn C là r = 2 / √5.
Tổng hợp lại, phương trình đường tròn C có tâm I(-2;3) và tiếp