Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

a,

Trong tam giác ABC, ta có góc B và góc C là hai góc nhọn bổ sung cho nhau nên góc B lớn hơn góc C. Hơn nữa, ta có tam giác ABC vuông tại A nên góc BAC = 90 độ. Từ đây suy ra góc ABC = 180 độ - góc BAC - góc ACB = 180 độ - 90 độ - góc ACB = 90 độ - góc ACB.

Do đó, ta có cos(ABC) = cos(90 độ - góc ACB) = sin(góc ACB).

Ta có 2 tam giác MBD và MCA cùng có góc MCB và góc MBD bằng góc CBH (do chúng đều vuông tại B). Từ đó suy ra hai tam giác này đồng dạng nếu và chỉ nếu tỉ số đôi của độ dài cạnh huyền của từng tam giác bằng tỉ số đôi của các cạnh vuông góc vào cạnh huyền đó.

Theo định nghĩa, ta có cos(góc CBH) = BD / BH. Vì góc CBH vuông nên cos(góc CBH) = BD / CH. Do đó, ta có BD / CH = BD / BH = cos(góc CBH) = sin(góc ACB).

Từ đó suy ra CH = BD / sin(góc ACB) = 2R, trong đó R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Vậy ta đã chứng minh được tam giác MBD đồng dạng với tam giác MCA.

b) Ta có MA / MB = sin(góc MBH) / sin(góc MHB) (định lý Sin). Từ thông tin `tam giác MAD đồng dạng với tam giác MCB`, ta có MA / MC = AD / CB.

Kết hợp hai phương trình trên, ta được `MA / MB = (AD / CB) × (sin(góc MBH) / sin(góc MHB))`.

Do đó, `sin(góc AHB) = sin(180 độ - góc BHA - góc MBA) = sin(góc BHA + góc MBA) = sin(góc MBH) / sin(góc MHB)`.

Vậy ta có `MA / MB = AD / CB = MC / MB`, tức tam giác MAD đồng dạng với tam giác MCB.

Tiếp theo, xét góc MHA. Ta có cos(góc MHA) = AM / AC và cos(góc CHB) = CH / CB.

Từ các phương trình ở câu a, ta suy ra `AM / AC = (AD × CH + CD × AH) / (AC × CH) = AD / CH + CD × AH / (AC × CH)`. Do `AD / CH = AB / CB = sin(góc ACB)` và `AH / AC = sin(góc BAC)`, ta có `AM / AC = sin(góc ACB) + CD × sin(góc BAC) / CH = sin(góc ACB) + sin(góc BHA)`. Do đó, `cos(góc MHA) = sin(góc ACB) + sin(góc BHA)`.

Ước lượng `cos(góc CHB)`. Vì `cos(góc CHB) = CH / CB = CH / (CH + HB)`, từ câu a, ta có `HB^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB × AC × sin(góc ACB)`, do đó `AC / HB = sin(góc ACB)`, hay `HB = AC / sin(góc ACB)`.

...Xem thêm

Answer 2