Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Chọn A .
Theo giả thiết

|z| = |\bar{z} + 4 - 3 i| \Leftrightarrow |x + y i| = |(x + 4) - (y + 3) i|

\Leftrightarrow \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{{(x + 4)}^{2} + {(y + 3)}^{2}} \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} = x^{2} + 8 x + 16 + y^{2} + 6 y + 9 \Leftrightarrow 8 x + 6 y + 25 = 0 .

Ta có

P = \sqrt{{(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2}} + \sqrt{{(x - 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2}}

Xét điểm

E (- 1; 1)

;

F (2; - 3)

và

M (x; y)

. Khi đó,

P = M E + M F

.
Bài toán trở thành tìm điểm

M \in Δ : 8 x + 6 y + 25 = 0

sao cho

M E + M F

đạt giá trị nhỏ nhất.
Vì

(8 x_{E} + 8 y_{E} + 25) . (8 x_{F} + 8 y_{F} + 25) > 0

nên hai điểm E, F nằm cùng phía đối với đường thẳng

∆

.
Gọi E' là điểm đối xứng với E qua

∆

Đường thẳng EE' đi qua điểm E (1; -1) và có VTPT

{\vec{n}}_{E E^{'}} = {\vec{u}}_{Δ} = (3; - 4)

nên có phương trình

3 (x + 1) - 4 (y - 1) = 0 \Leftrightarrow 3 x - 4 y + 7 = 0

Gọi H là giao điểm của EE' và

∆

. Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình

\{\begin{cases} 3 x - 4 y = - 7 \\ 8 x + 6 y = - 25 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - \frac{71}{25} \\ y = - \frac{19}{50} \end{cases}

suy ra

H (- \frac{71}{25}; - \frac{19}{50})

E' đối xứng với E qua H nên

\{\begin{cases} x_{E^{'}} = - \frac{117}{25} \\ y_{E^{'}} = - \frac{44}{25} \end{cases}

.
Ta có

M E + M F = M E^{'} + M F \geq E^{'} F

.
Dấu bằng xảy ra

\Leftrightarrow M

là giao điểm của E'F và đường thẳng

∆

Đường thẳng EF' đi qua điểm

F (2; - 3)

và có VTPT

{\vec{n}}_{E E^{'}} = (31; 167)

có phương trình

31 (x - 2) + 167 (y + 3) = 0 \Leftrightarrow 31 x + 167 y + 439 = 0

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình

\{\begin{cases} 31 x + 167 y = - 439 \\ 8 x + 6 y = - 25 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - \frac{67}{50} \\ y = - \frac{119}{50} \end{cases}

Vậy

P = x + 2 y = - \frac{61}{10}

.

...Xem thêm

Answer 2