Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Chọn B

Ta có $\log_{3} (2 x^{2} + y^{2}) = \log_{7} (x^{3} + 2 y^{3}) = \log z = t \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x^{2} + y^{2} = 3^{t} (1) \\ x^{3} + 2 y^{3} = 7^{t} (2) \\ z = 10^{t} (3) \end{cases}$ .

+ Nếu y = 0 $(2) \Rightarrow x = 7^{\frac{t}{3}}$ thay vào (1) ta được ${2.7}^{\frac{2 t}{3}} = 3^{t} \Leftrightarrow t = \log_{\frac{3}{\sqrt[3]{49}}} 2$ do đó $z = 10^{\log_{\frac{3}{\sqrt[3]{49}}} 2}$ .

+ Nếu $y \neq 0$

Từ $(1) & (2)$ suy ra $\{\begin{cases} {(2 x^{2} + y^{2})}^{3} = 27^{t} \\ {(x^{3} + 2 y^{3})}^{2} = 49^{t} \end{cases} \Rightarrow \frac{{(x^{3} + 2 y^{3})}^{2}}{{(2 x^{2} + y^{2})}^{3}} = {(\frac{49}{27})}^{t} \Leftrightarrow \frac{{({(\frac{x}{y})}^{3} + 2)}^{2}}{{(2 {(\frac{x}{y})}^{2} + 1^{2})}^{3}} = {(\frac{49}{27})}^{t}, (*)$ .

Đặt $\frac{x}{y} = u, u \neq - \sqrt[3]{2}$ . Xét $f (u) = \frac{{(u^{3} + 2)}^{2}}{{(2 u^{2} + 1)}^{3}} \Rightarrow f^{'} (u) = \frac{6 u (u^{3} + 2) (u - 4)}{{(2 u^{2} + 1)}^{4}} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} u = 0 \\ u = - \sqrt[3]{2} \\ u = 4 \end{array}$ .

Ta có bảng biến thiên

Nhận xét với mỗi giá trị u tương ứng với duy nhất 1 cặp (x,y) thỏa mãn bài toán do đó

Yêu cầu bài toán tương đương $[\begin{array}{l} \frac{1}{8} \leq {(\frac{49}{27})}^{t} < 4 \\ 0 < {(\frac{49}{27})}^{t} < \frac{4}{33} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 10^{\log_{\frac{49}{27}} (\frac{1}{8})} \leq z < 10^{\log_{\frac{49}{27}} 4} \\ 0 < z < 10^{\log_{\frac{49}{27}} (\frac{4}{33})} \end{array}$ .

Vì z là số nguyên nên có 211 giá trị thỏa mãn.

...Xem thêm

Answer 2