Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Chọn C

Ta có: $\log \frac{x + 1}{2 y + 1} \leq 4 y^{4} + 4 y^{3} - x^{2} y^{2} - 2 y^{2} x \Leftrightarrow \log \frac{x y + y}{2 y^{2} + y} \leq (4 y^{4} + 4 y^{3} + y^{2}) - (x^{2} y^{2} + 2 y^{2} x + y^{2})$ $\Leftrightarrow \log (x y + y) - \log (2 y^{2} + y) \leq {(2 y^{2} + y)}^{2} - {(x y + y)}^{2} (1)$

Xét hàm số $f (t) = \log t + t^{2}$ với $t \in (0; + \infty)$ .

Ta có: $f^{'} (t) = \frac{1}{t \ln 10} + 2 t > 0; \forall t \in (0; + \infty)$ . Suy ra hàm $f (t)$ đồng biến trên $t \in (0; + \infty)$ .

Khi đó: $(1) \Leftrightarrow f (x y + y) \leq f (2 y^{2} + y) \Leftrightarrow x y + y \leq 2 y^{2} + y \Leftrightarrow x \leq 2 y$ .

Vì $y \in ℤ^{+}$ và $y \leq 2021$ nên ta xét các trường hợp sau.

 $y = 1 \Rightarrow x \in \{1; 2\}$ .

 $y = 2 \Rightarrow x \in \{1; 2; 3; 4\}$ .

 ……………………………….

 $y = 2021 \Rightarrow x \in \{1; 2; 3; .....; 4042\}$ .

Vậy số cặp nghiệm thỏa mãn điều kiện bài toán là: $2 + 4 + 6 + ... + 4042 = 2022.2021$

...Xem thêm

Answer 2