Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Chọn B.

Ta có $a^{2 x} = b^{3 y} = {(a b)}^{6} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a^{2 x} = a^{6} b^{6} \\ b^{3 y} = a^{6} b^{6} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x = \log_{a} (a^{6} b^{6}) \\ 3 y = \log_{b} (a^{6} b^{6}) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 3 (1 + \log_{a} b) \\ y = 2 (1 + \log_{b} a) \end{cases} .$

Vì $a > 1, b > 1$ nên $\log_{a} b > 0.$

Do đó $P = 3 x y + 2 x + y = 18 (1 + \log_{a} b) (1 + \log_{b} a) + 6 (1 + \log_{a} b) + 2 (1 + \log_{b} a)$

$= 44 + 24 \log_{a} b + 20 \log_{b} a = 44 + 4 (6 \log_{a} b + 5 \log_{b} a) .$

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương, ta có

$6 \log_{a} b + 5 \log_{b} a \geq 2 \sqrt{6 \log_{a} b .5 \log_{b} a} = 2 \sqrt{30} .$

Khi đó $P \geq 44 + 4.2 \sqrt{30} = 44 + 8 \sqrt{30}$ .

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $6 \log_{a} b = 5 \log_{b} a .$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là $44 + 8 \sqrt{30}$ .

Suy ra $m = 44, n = 8.$ Vậy $m - 2 n = 28.$

...Xem thêm

Answer 2