Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Gọi với $z = x + y i$ ; $x, y \in ℝ M (x; y), M^{'} (x; - y)$ lần lượt là các điểm biểu diễn số phức $z, \bar{z}$ .
Ta có: $|\frac{z - 1}{z + 3 i}| = \frac{1}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow \sqrt{2} |z - 1| = |z + 3 i| \Leftrightarrow \sqrt{2} |(x - 1) + y i| = |x + (y + 3) i|$ .

$\Leftrightarrow \sqrt{2} \sqrt{{(x - 1)}^{2} + y^{2}} = \sqrt{x^{2} + {(y + 3)}^{2}} \Leftrightarrow 2 x^{2} - 4 x + 2 + 2 y^{2} = x^{2} + y^{2} + 6 y + 9$

$\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 4 x - 6 y - 7 = 0 \Leftrightarrow {(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 20$
Như vậy, tập hợp điểm M là đường tròn $(C)$ tâm I(2; 3) và bán kính $R = 2 \sqrt{5}$ .

$P = |z + i| + 2 |\bar{z} - 4 + 7 i| = |\vec{O M} - \vec{O A}| + 2 |\vec{O M^{'}} - \vec{O B}|$ với $A (0; - 1)$ , $B (4; - 7)$ . Suy ra $P = A M + 2 B M^{'}$ .
Vì M' đối xứng với M qua Ox nên ta cần gọi điểm $B^{'} (4; 7)$ đối xứng với B qua Ox, khi đó $M^{'} B = M B^{'}$ . Do đó: $P = A M + 2 M B^{'}$ .
Ta lại có $A (0; - 1)$ , $B^{'} (4; 7)$ thuộc đường tròn (C) và $A B^{'} = 4 \sqrt{5} = 2 R$ , vì vậy AB' là đường kính của đường tròn (C) $\Rightarrow M A^{2} + M {B^{'}}^{2} = A {B^{'}}^{2} = 80$ .

Do đó: $= \underset{C a u c h y - S h w a r t}{\underset{⏟}{M A + 2 M B^{'} \leq \sqrt{(1^{2} + 2^{2}) (\underset{= 80}{\underset{⏟}{M A^{2} + M {B^{'}}^{2}}})}}} = 20$ .
Dấu $" = "$ xảy ra khi $\{\begin{cases} M B^{'} = 2 M A \\ M A^{2} + M {B^{'}}^{2} = 80 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} M A = 4 \\ M B^{'} = 8 \end{cases}$ . Vậy $\max P = 20$ .

Vậy chọn đáp án B

...Xem thêm

Answer 2

Gọi với $z = x + y i$ ; $x, y \in ℝ M (x; y), M^{'} (x; - y)$ lần lượt là các điểm biểu diễn số phức $z, \bar{z}$ .
Ta có: $|\frac{z - 1}{z + 3 i}| = \frac{1}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow \sqrt{2} |z - 1| = |z + 3 i| \Leftrightarrow \sqrt{2} |(x - 1) + y i| = |x + (y + 3) i|$ .

$\Leftrightarrow \sqrt{2} \sqrt{{(x - 1)}^{2} + y^{2}} = \sqrt{x^{2} + {(y + 3)}^{2}} \Leftrightarrow 2 x^{2} - 4 x + 2 + 2 y^{2} = x^{2} + y^{2} + 6 y + 9$

$\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 4 x - 6 y - 7 = 0 \Leftrightarrow {(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 20$
Như vậy, tập hợp điểm M là đường tròn $(C)$ tâm I(2; 3) và bán kính $R = 2 \sqrt{5}$ .

$P = |z + i| + 2 |\bar{z} - 4 + 7 i| = |\vec{O M} - \vec{O A}| + 2 |\vec{O M^{'}} - \vec{O B}|$ với $A (0; - 1)$ , $B (4; - 7)$ . Suy ra $P = A M + 2 B M^{'}$ .
Vì M' đối xứng với M qua Ox nên ta cần gọi điểm $B^{'} (4; 7)$ đối xứng với B qua Ox, khi đó $M^{'} B = M B^{'}$ . Do đó: $P = A M + 2 M B^{'}$ .
Ta lại có $A (0; - 1)$ , $B^{'} (4; 7)$ thuộc đường tròn (C) và $A B^{'} = 4 \sqrt{5} = 2 R$ , vì vậy AB' là đường kính của đường tròn (C) $\Rightarrow M A^{2} + M {B^{'}}^{2} = A {B^{'}}^{2} = 80$ .

Do đó: $= \underset{C a u c h y - S h w a r t}{\underset{⏟}{M A + 2 M B^{'} \leq \sqrt{(1^{2} + 2^{2}) (\underset{= 80}{\underset{⏟}{M A^{2} + M {B^{'}}^{2}}})}}} = 20$ .
Dấu $" = "$ xảy ra khi $\{\begin{cases} M B^{'} = 2 M A \\ M A^{2} + M {B^{'}}^{2} = 80 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} M A = 4 \\ M B^{'} = 8 \end{cases}$ . Vậy $\max P = 20$ .

Vậy chọn đáp án B

1 câu trả lời 89

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 12