Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Xét hình bình hành $O M P Q$ , ở đó ÔPO là gốc tọa độ, M, Q lần lượt là điểm biểu diễn cho hai số phức $z_{1}$ , $z_{2}$ , từ đó suy ra điểm PPP biểu diễn cho số phức $z_{1} + z_{2}$ . Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có

$\begin{array}{l} |z_{1} + z_{2}| - | 1 + 2 i | \leq |z_{1} + z_{2} - 1 - 2 i| \leq |z_{1} + z_{2}| + | 1 + 2 i | \\ \Rightarrow 4 - \sqrt{5} \leq |z_{1} + z_{2}| \leq 4 + \sqrt{5} . \end{array}$

Theo công thức hình bình hành, ta có $O P^{2} + M Q^{2} = 2 (O M^{2} + O Q^{2})$ . Từ đó suy ra

$| z_{1} + z_{2} |^{2} + | z_{1} - z_{2} |^{2} = 2 (| z_{1} |^{2} + | z_{2} |^{2}) \Rightarrow | z_{1} |^{2} + | z_{2} |^{2} = \frac{1}{2} (16 + | z_{1} + z_{2} |^{2}) .$

Theo chứng minh trên, ta có $21 - 8 \sqrt{5} \leq | z_{1} + z_{2} |^{2} \leq 21 + \sqrt{5}$ nên

$\frac{37}{2} - 4 \sqrt{5} = \frac{1}{2} (16 + {(4 - \sqrt{5})}^{2}) \leq {|z_{1} + z_{2}|}^{2} \leq \frac{1}{2} (16 + {(4 - \sqrt{5})}^{2}) = \frac{37}{2} + 4 \sqrt{5} .$

Từ đó suy ra $A = \frac{1}{2} (16 + {(4 - \sqrt{5})}^{2}) = \frac{37}{2} - 4 \sqrt{5}$ và $B = \frac{1}{2} (16 + {(4 + \sqrt{5})}^{2}) = \frac{37}{2} + 4 \sqrt{5}$ .

Vậy A + B = 37.

...Xem thêm

Answer 2