Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Chọn D

Ta có $2 a^{m} = n \ln (a + \sqrt{a^{2} + 1}) \Leftrightarrow \frac{2}{n} a^{m} = \ln (a + \sqrt{a^{2} + 1}) (*)$ .

Xét hàm $f (a) = \ln (a + \sqrt{a^{2} + 1})$ trên $(- 1, 1)$ (dễ thấy hàm f lẻ, đồng biến trên R), có BBT:

Có bao nhiêu cặp số nguyên dương (m,n) sao cho m+n<=12 và ứng với mỗi cặp (m,n) tồn tại đúng 3 số thực 3 thỏa mãn a thuộc (-1,1) ? (ảnh 1)

Xét hàm $g (a) = \frac{2}{n} . a^{m}$ trên $(- 1, 1)$ .

Với m chẵn, $g (a)$ là hàm chẵn và $g (a) \geq 0, \forall a \in R$ , do đó $(*)$ không thể có 3 nghiệm.

Với m lẻ, $g (a)$ là hàm lẻ, đồng biến trên và tiếp tuyến của đồ thị tại điểm a=0 là đường thẳng y=0.

Dễ thấy $(*)$ có nghiệm $a = 0 \in (- 1; 1)$ . Để $(*)$ có đúng 3 nghiệm tức là còn có 2 nghiệm nữa là $\pm a_{0}$ với $0 < a_{0} < 1$ .

Muốn vậy, thì $g (1) = \frac{2}{n} {.1}^{m} = \frac{2}{n} > f (1) = \ln (1 + \sqrt{2}) \Leftrightarrow n < \frac{2}{\ln (1 + \sqrt{2})} \approx 2, 26 \Rightarrow n = 1; n = 2$

Cụ thể:

+ $m \in \{3; 5; 7; 9\}$ thì $n \in \{1; 2\}$ : Có 8 cặp $(m, n)$

+ $m = 11$ thì : $n \in \{1\}$ Có cặp $(m, n)$

+ $m = 1$ : Đồ thị hàm số $g (a)$ là đường thẳng ( $g (a) = a; g (a) = 2 a$ ) không thể cắt đồ thị hàm số $f (a)$ tại giao điểm $a_{0} \neq 0$ được vì tiếp tuyến của hàm số $f (a)$ tại điểm có hoành độ $a = 0$ là đường thẳng $y = a$ .

Vậy có cả thảy 9 cặp $y = a$

...Xem thêm

Answer 2