Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Lời giải

Chọn A

Ta có: $2^{x^{2} + y^{2} + 1} \leq (x^{2} + y^{2} - 2 x + 2) 4^{x} \Leftrightarrow 2^{x^{2} - 2 x + 1 + y^{2}} \leq (x^{2} - 2 x + 1) + y^{2} + 1$ .

Đặt $t = x^{2} - 2 x + 1 + y^{2} \Rightarrow t \geq 0$ . Khi đó ta có $2^{t} \leq t + 1$ , $\forall t \geq 0$ .

Đặt $f (t) = 2^{t} - t - 1, \forall t \geq 0$ , ta có: $f^{'} (t) = 2^{t} \ln 2 - 1$ , cho $f^{'} (t) = 0$ .

Ta nhận thấy phương trình $f^{'} (t) = 0$ có một nghiệm nên phương trình $f (t) = 0$ có tối đa hai nghiệm.

Mặt khác ta có $f (0) = f (1) = 0$ . Suy ra phương trình $f (t) = 0$ có hai nghiệm $t = 1$ và $t = 0$ .

Khi đó ta có bảng xét dấu của hàm số như sau:

Khi đó $f (t) \leq 0 \Leftrightarrow t \in [0; 1]$ . Suy ra $x^{2} - 2 x + 1 + y^{2} \leq 1 \Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} + y^{2} \leq 1$ .

Khi đó tập hợp các điểm $M (x; y)$ là một hình tròn $(S)$ tâm $I (1; 0)$ , bán kính $R = 1$ .

Ta có: $P = \frac{4 y}{2 x + y + 1} \Leftrightarrow 2 P x + (P - 4) y + P = 0$ .

Khi đó ta cũng có tập hợp các điểm $M (x; y)$ là một đường thẳng .

Để $Δ$ và có điểm chung, ta suy ra $d (I, Δ) \leq 1$ .

$\Leftrightarrow \frac{|2 P + P|}{\sqrt{{(2 P)}^{2} + {(P - 4)}^{2}}} \leq 1 \Leftrightarrow 3 |P| \leq \sqrt{5 P^{2} - 8 P + 16}$

$\Leftrightarrow 4 P^{2} + 8 P - 16 \leq 0 \Leftrightarrow - 1 - \sqrt{5} \leq P \leq - 1 + \sqrt{5}$ .

Ta suy ra $P_{\max} = - 1 + \sqrt{5}$ . Dấu $" = "$ xảy ra khi $\{\begin{cases} x = \frac{1}{3} \\ y = - \frac{\sqrt{5}}{3} \end{cases}$

...Xem thêm

Answer 2