Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Chọn D

Ta có $2 a^{m} = n \ln (a + \sqrt{a^{2} + 1}) \Leftrightarrow \frac{2 a^{m}}{n} = \ln (a + \sqrt{a^{2} + 1})$ .

Xét hai hàm số $f (x) = \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$ và $g (x) = \frac{2}{n} x^{m}$ trên $(- 1; 1)$ .

Ta có $f^{'} (x) = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}} > 0$ nên $f (x)$ luôn đồng biến và

$f (- x) = \ln (- x + \sqrt{x^{2} + 1}) = \ln (\frac{1}{x + \sqrt{x^{2} + 1}}) = - \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) = - f (x)$ nên $f (x)$ là hàm số lẻ.

+ Nếu m chẵn thì $g (x)$ là hàm số chẵn và có bảng biến thiên dạng

Có bao nhiêu cặp số nguyên dương (m,n) sao cho M+n<=10 và ứng với mỗi cặp (m,n) tồn tại đúng 3 số thực (ảnh 1)

Suy ra phương trình có nhiều nhất 2 nghiệm, do đó m lẻ.

+ Nếu m lẻ thì hàm số $g (x)$ là hàm số lẻ và luôn đồng biến.

Ta thấy phương trình luôn có nghiệm $x = 0$ . Dựa vào tính chất đối xứng của đồ thị hàm số lẻ, suy ra phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm trên $(- 1; 1)$ khi có 1 nghiệm trên (0,1), hay $f (1) > g (1) \Leftrightarrow \ln (1 + \sqrt{2}) < \frac{2}{n} \Leftrightarrow n < \frac{2}{\ln (1 + \sqrt{2})} \approx 2, 26 \Rightarrow n \in \{1; 2\}$ .

Đối chiếu điều kiện, với $n = 1$ suy ra , có $m \in \{1; 3; 5; 7; 9\}$ cặp số thỏa mãn

Với n=2 thì $m \in \{1; 3; 5; 7\}$ có 4 cặp số thỏa mãn.

Vậy có 9 cặp số thỏa mãn bài toán.

...Xem thêm

Answer 2