Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Chọn C

Nhận xét $x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 > 0 \forall x; y$

Bất phương trình $2^{x^{2} + y^{2} + 1} \leq (x^{2} + y^{2} - 2 x + 2) {.4}^{x} \Leftrightarrow \frac{2^{x^{2} + y^{2} + 1}}{2^{2 x}} \leq (x^{2} + y^{2} - 2 x + 2)$ .

$\Leftrightarrow 2^{x^{2} + y^{2} - 2 x + 1} \leq (x^{2} + y^{2} - 2 x + 2)$

Đặt $t = x^{2} + y^{2} - 2 x + 1$

Bất phương trình $\Leftrightarrow 2^{t} \leq t + 1$ $\Leftrightarrow 2^{t} - t - 1 \leq 0$

Đặt $f (t) = 2^{t} - t - 1$ . Ta thấy $f (0) = f (1) = 0$ .

Ta có $f^{'} (t) = 2^{t} \ln 2 - 1$

$f^{'} (t) = 0 \Leftrightarrow 2^{t} \ln 2 = 1 \Leftrightarrow t = \log_{2} (\frac{1}{\ln 2}) \approx 0, 52$

Xét các số thực x,y thỏa mãn 2^x^2+y^2+1<=(x^2+y^2-2x+2).4^x. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=8x+4/2x-y+1 gần nhất (ảnh 1)

Quan sats BBT ta thấy $f (t) \leq 0 \Leftrightarrow 0 \leq t \leq 1$

$0 \leq x^{2} + y^{2} - 2 x + 1 \leq 1 \Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} + y^{2} \leq 1 (1)$

Xét $P = \frac{8 x + 4}{2 x - y + 1} \Leftrightarrow 2 P x - P y + P = 8 x + 4$

$\Leftrightarrow P - 4 = (8 - 2 P) x + P y$ $\Leftrightarrow P - 4 + 2 P - 8 = (8 - 2 P) x + 2 P - 8 + P y$

$\Leftrightarrow 3 P - 12 = (8 - 2 P) (x - 1) + P y$

$\Leftrightarrow {(3 P - 12)}^{2} = {[(8 - 2 P) (x - 1) + P y]}^{2} \leq [{(8 - 2 P)}^{2} + P^{2}] [{(x - 1)}^{2} + y^{2}]$

Thế vào ta có ${(3 P - 12)}^{2} \leq [{(8 - 2 P)}^{2} + P^{2}] \Leftrightarrow 4 P^{2} - 40 P + 80 \leq 0 \Leftrightarrow 5 - \sqrt{5} \leq P \leq 5 + \sqrt{5}$ .

Dấu “=” xảy ra khi $\{\begin{cases} \frac{8 - 2 P}{P} = \frac{x - 1}{y} = \frac{- 2}{\sqrt{5}} \\ {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x - 1 = \frac{- 2}{\sqrt{5}} y \\ {(\frac{- 2}{\sqrt{5}} y)}^{2} = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x - 1 = \frac{- 2}{\sqrt{5}} y \\ y = \pm \frac{\sqrt{5}}{3} \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} x = \frac{1}{3} \\ y = \frac{\sqrt{5}}{3} \end{cases} \\ \{\begin{cases} x = \frac{5}{3} \\ y = \frac{- \sqrt{5}}{3} \end{cases} \end{array}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của là $5 - \sqrt{5} \approx 2, 76$ gần giá trị 3 nhất.

...Xem thêm

Answer 2

Chọn C

Nhận xét $x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 > 0 \forall x; y$

Bất phương trình $2^{x^{2} + y^{2} + 1} \leq (x^{2} + y^{2} - 2 x + 2) {.4}^{x} \Leftrightarrow \frac{2^{x^{2} + y^{2} + 1}}{2^{2 x}} \leq (x^{2} + y^{2} - 2 x + 2)$ .

$\Leftrightarrow 2^{x^{2} + y^{2} - 2 x + 1} \leq (x^{2} + y^{2} - 2 x + 2)$

Đặt $t = x^{2} + y^{2} - 2 x + 1$

Bất phương trình $\Leftrightarrow 2^{t} \leq t + 1$ $\Leftrightarrow 2^{t} - t - 1 \leq 0$

Đặt $f (t) = 2^{t} - t - 1$ . Ta thấy $f (0) = f (1) = 0$ .

Ta có $f^{'} (t) = 2^{t} \ln 2 - 1$

$f^{'} (t) = 0 \Leftrightarrow 2^{t} \ln 2 = 1 \Leftrightarrow t = \log_{2} (\frac{1}{\ln 2}) \approx 0, 52$

Quan sats BBT ta thấy $f (t) \leq 0 \Leftrightarrow 0 \leq t \leq 1$

$0 \leq x^{2} + y^{2} - 2 x + 1 \leq 1 \Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} + y^{2} \leq 1 (1)$

Xét $P = \frac{8 x + 4}{2 x - y + 1} \Leftrightarrow 2 P x - P y + P = 8 x + 4$

$\Leftrightarrow P - 4 = (8 - 2 P) x + P y$ $\Leftrightarrow P - 4 + 2 P - 8 = (8 - 2 P) x + 2 P - 8 + P y$

$\Leftrightarrow 3 P - 12 = (8 - 2 P) (x - 1) + P y$

$\Leftrightarrow {(3 P - 12)}^{2} = {[(8 - 2 P) (x - 1) + P y]}^{2} \leq [{(8 - 2 P)}^{2} + P^{2}] [{(x - 1)}^{2} + y^{2}]$

Thế vào ta có ${(3 P - 12)}^{2} \leq [{(8 - 2 P)}^{2} + P^{2}] \Leftrightarrow 4 P^{2} - 40 P + 80 \leq 0 \Leftrightarrow 5 - \sqrt{5} \leq P \leq 5 + \sqrt{5}$ .

Dấu “=” xảy ra khi $\{\begin{cases} \frac{8 - 2 P}{P} = \frac{x - 1}{y} = \frac{- 2}{\sqrt{5}} \\ {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x - 1 = \frac{- 2}{\sqrt{5}} y \\ {(\frac{- 2}{\sqrt{5}} y)}^{2} = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x - 1 = \frac{- 2}{\sqrt{5}} y \\ y = \pm \frac{\sqrt{5}}{3} \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} x = \frac{1}{3} \\ y = \frac{\sqrt{5}}{3} \end{cases} \\ \{\begin{cases} x = \frac{5}{3} \\ y = \frac{- \sqrt{5}}{3} \end{cases} \end{array}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của là $5 - \sqrt{5} \approx 2, 76$ gần giá trị 3 nhất.

1 câu trả lời 238

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 12