Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Chọn D.

Cho hình chóp S. ABC có góc BAC= 90 độ, AB=3a, AC= 4a hình chiếu của đỉnh S là (ảnh 1)

$Δ A B C$ vuông tại $A \Rightarrow B C = \sqrt{A B^{2} + A C^{2}} = \sqrt{{(3 a)}^{2} + {(4 a)}^{2}} = \sqrt{25 a^{2}} = 5 a$ .

Vẽ $Δ M N P$ sao cho AB, BC, CA là các đường trung bình của $Δ M N P \Rightarrow A C B N; A B C P$ là các hình bình hành; ABMC là hình chữ nhật và $M P = 6 a; M N = 8 a; N P = 10 a$

Ta có: $B C / / (S N P) \Rightarrow d (S A, B C) = d (B C, (S N P)) = d (B, (S N P))$

Lại có:

$\frac{d (B, (S N P))}{d (M, (S N P))} = \frac{B N}{M N} = \frac{1}{2} \Rightarrow d (M, (S N P)) = 2 d (B, (S N P)) = 2 d (S A, B C) = \frac{12 a \sqrt{34}}{17}$

Tương tự ta tính được:

$d (P, (S M N)) = 2 d (S B, C A) = \frac{24 a}{5}$ và $d (N, (S M P)) = 2 d (S C, A B) = \frac{24 a \sqrt{13}}{13}$

Gọi D,E,F lần lượt là hình chiếu của H lên $N P, M P, M N$ và đặt $h = S H = d (S, (M N P))$

Ta có: $S H ⊥ N P$ và $H D ⊥ N P \Rightarrow N P ⊥ (S H D)$

Chứng minh tương tự: $H E ⊥ (S M P); H F ⊥ (S M N)$

Do đó: $3 V_{S M N P} = d (M, (S N P)) . S_{S N P} = d (N, (S M P)) . S_{S M P}$

$= d (P, (S M N)) . S_{S M N} = d (S, (M N P)) . S_{M N P} = h . S_{M N P}$

Mặt khác: $S_{S N P} = \frac{1}{2} S D . N P = 5 a . S D; S_{S M P} = \frac{1}{2} S E . M P = 3 a . S E;$

$S_{S M N} = \frac{1}{2} S F . M N = 4 a . S F; S_{M N P} = \frac{1}{2} M N . M P = 24 a^{2}$

$\Rightarrow \frac{12 a \sqrt{34}}{17} .5 a . S D = \frac{24 a \sqrt{13}}{13} .3 a . S E = \frac{24 a}{5} .4 a . S F = 24 a^{2} h$

$\Rightarrow S D = \frac{h \sqrt{34}}{5}; S E = \frac{h \sqrt{13}}{3}; S F = \frac{5 h}{4}$

Ta lại có: $H D = \sqrt{S D^{2} - S H^{2}} = \sqrt{\frac{34 h^{2}}{25} - h^{2}} = \sqrt{\frac{9 h^{2}}{25}} = \frac{3 h}{5}$

$H E = \sqrt{S E^{2} - S H^{2}} = \sqrt{\frac{13 h^{2}}{9} - h^{2}} = \sqrt{\frac{4 h^{2}}{9}} = \frac{2 h}{3}$

$H F = \sqrt{S F^{2} - S H^{2}} = \sqrt{\frac{25 h^{2}}{16} - h^{2}} = \sqrt{\frac{9 h^{2}}{16}} = \frac{3 h}{4}$

Mà $S_{M N P} = S_{H N P} + S_{H M P} + S_{H M N} = \frac{1}{2} H D . N P + \frac{1}{2} H E . M P + \frac{1}{2} H F . M N$

$\Rightarrow \frac{1}{2} . \frac{3 h}{5} .10 a + \frac{1}{2} . \frac{2 h}{3} .6 a + \frac{1}{2} . \frac{3 h}{4} .8 a = 24 a^{2} \Rightarrow 8 a h = 24 a^{2} \Rightarrow h = 3 a$

Vậy thể tích khối chóp S. ABC là $V_{S . A B C} = \frac{1}{3} h . S_{A B C} = \frac{1}{3} .3 a . \frac{1}{2} .3 a .4 a = 6 a^{3}$ .

...Xem thêm

Answer 2