Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Đáp án đúng là: D

(H) là hình phẳng giới hạn bởi đường cong có phương trình $y = \sqrt{x}$ , nửa đường tròn $y = \sqrt{2 - x^{2}}$ với $0 \leq x \leq \sqrt{2}$ và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của hình (H) bằng

$S = \int_{0}^{1} \sqrt{x} d x + \int_{1}^{\sqrt{2}} \sqrt{2 - x^{2}} d x = \frac{2}{3} \int_{0}^{1} \frac{3}{2} \sqrt{x} d x + S_{1}$

$= {\frac{2}{3} \sqrt{x^{3}}|}_{0}^{1} + S_{1} = \frac{2}{3} + S_{1}$ (1)

+) Xét $S_{1} = \int_{1}^{\sqrt{2}} \sqrt{2 - x^{2}} d x$

Đặt $x = \sqrt{2} . \sin u$

$\Rightarrow \sqrt{2 - x^{2}} = \sqrt{2 - 2 \sin^{2} u} = \sqrt{2} . \cos u$

Và $d x = \sqrt{2} . \cos u d u$

Đổi cận

+) $x = 1 \Rightarrow u = \frac{π}{4}$

+) $x = \sqrt{2} \Rightarrow u = \frac{π}{2}$

Suy ra $S_{1} = \int_{1}^{\sqrt{2}} \sqrt{2 - x^{2}} d x = \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{2} . \cos u . \sqrt{2} . \cos u d u$

$= \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} 2 \cos^{2} u d u = \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} (\cos 2 u + 1) d u = {(\frac{\sin 2 u}{2} + u)|}_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}$

$= (0 + \frac{π}{2}) - (\frac{1}{2} + \frac{π}{4}) = - \frac{1}{2} + \frac{π}{4}$ (2)

Thay (2) vào (1) ta được

$S = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} + \frac{π}{4} = \frac{1}{6} + \frac{π}{4} = \frac{3 π + 2}{12} .$

...Xem thêm

Answer 2