Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

$(2) \Leftrightarrow 1 + (\sin x + \cos x) (\sin^{2} x - \sin x \cos x + \cos^{2} x) = 3 \sin x \cos x$

$\Leftrightarrow 1 + (\sin x + \cos x) (1 - \sin x \cos x) = 3 \sin x \cos x . (*)$

Đặt $t = \sin x + \cos x (- \sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}) \Rightarrow \sin x \cos x = \frac{t^{2} - 1}{2} .$

Khi đó phương trình (*) trở thành $1 + t (1 - \frac{t^{2} - 1}{2}) = 3. \frac{t^{2} - 1}{2}$

$\Leftrightarrow t^{3} + 3 t^{2} - 3 t - 5 = 0 \Leftrightarrow (t + 1) (t^{2} + 2 t - 5) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = - 1 \\ t = - 1 - \sqrt{6} < - \sqrt{2} \\ t = - 1 + \sqrt{6} > \sqrt{2} \end{array} \Rightarrow t = - 1.$

Suy ra $\sin x + \cos x = - 1 \Leftrightarrow \sqrt{2} c o s (x - \frac{π}{4}) = - 1$

$\Leftrightarrow c o s (x - \frac{π}{4}) = c o s \frac{3 π}{4} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = π + k 2 π \\ x = \frac{- π}{2} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ) .$

Vậy phương trình đã cho có 2 họ nghiệm $x = π + k 2 π; x = \frac{- π}{2} + k 2 π (k \in ℤ) .$

...Xem thêm

Answer 2