Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Ta có : $\sin [\frac{π}{4} (3 x - \sqrt{9 x^{2} - 16 x - 80})] = 0 \Leftrightarrow \frac{π}{4} (3 x - \sqrt{9 x^{2} - 16 x - 80}) = k π$

$\Leftrightarrow 3 x - \sqrt{9 x^{2} - 16 x - 80} = 4 k \Leftrightarrow \sqrt{9 x^{2} - 16 x - 80} = 3 x - 4 k$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x \geq 4 k \\ 9 x^{2} - 16 x - 80 = 9 x^{2} - 24 k x + 16 k^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x \geq 4 k \\ x = \frac{2 k^{2} + 10}{3 k - 2} \end{cases}$

Xét $x = \frac{2 k^{2} + 10}{3 k - 2} \Rightarrow 9 x = \frac{18 k^{2} + 90}{3 k - 2} = \frac{2 (9 k^{2} - 4) + 98}{3 k - 2} = 2 (3 k + 2) + \frac{98}{3 k - 2}$ .

Vì $x \in ℕ^{*}$ nên $9 x \in ℕ^{*} \Rightarrow 3 k - 2 \in$ Ư $(98)$ $= \{\pm 1; \pm 2; \pm 7; \pm 14; \pm 49; \pm 98\}$ .

Lại có $\{\begin{cases} x \in ℕ^{*} \\ 2 k^{2} + 10 > 0 (k \in ℤ) \end{cases} \Rightarrow 3 k - 2 > 0$ $\Rightarrow 3 k - 2 \in \{1; 2; 7; 14; 49; 98\} \Leftrightarrow k \in \{1; 3; 17\}$

- Với $k = 1$ thì $x = 12$ (thỏa mãn $3 x \geq 4 k$ ).

- Với $k = 3$ thì $x = 4$ (thỏa mãn $3 x \geq 4 k$ ).

- Với $k = 17$ thì $x = 12$ (không thỏa mãn $3 x \geq 4 k$ ).

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm nguyên dương là $x \in \{4; 12\}$ .

...Xem thêm

Answer 2