Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Chọn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ. A(a; 0), B(b; 0), C(0; c), D(0; d). Hai dây cung AB và CD vuông góc với nhau tại E (trùng với gốc tọa độ O).

Vì ACEF là hình chữ nhật nên F(a; c).

Gọi I là tâm đường tròn (O), K và H lần lượt là chân đường cao hạ từ I tới AB, CD.

⇒ K là trung điểm của AB ⇒ $K (\frac{a + b}{2}; 0)$ .

H là trung điểm của CD ⇒ $H (0; \frac{c + d}{2})$ .

⇒ $I (\frac{a + b}{2}; \frac{c + d}{2})$ .

Ta có: $\vec{I A} = (a - \frac{a + b}{2}; - \frac{c + d}{2})$ ⇒ IA = $|\vec{I A}| = \sqrt{{(a - \frac{a + b}{2})}^{2} + {(- \frac{c + d}{2})}^{2}}$ .

$\vec{I C} = (- \frac{a + b}{2}; c - \frac{c + d}{2})$ ⇒ IC = $|\vec{I C}| = \sqrt{{(- \frac{a + b}{2})}^{2} + {(c - \frac{c + d}{2})}^{2}}$ .

Vì IA = IC (= R) ⇒ $\sqrt{{(a - \frac{a + b}{2})}^{2} + {(- \frac{c + d}{2})}^{2}} = \sqrt{{(- \frac{a + b}{2})}^{2} + {(c - \frac{c + d}{2})}^{2}}$

⇔ (a − b)² + (c + d)² = (a + b)² + (c − d)²

⇔ a² − 2ab + b² + c² + 2cd + d² = a² + 2ab + b² + c² − 2cd + d²

⇔ 4ab = 4cd ⇔ ab = cd ⇔ ab − cd = 0 (1)

Ta có: $\vec{E F}$ = (−a; −c}, $\vec{B D}$ = (−b; d)

⇒ $\vec{E F} . \vec{B D}$ = (−a).(−b) − c.d = ab − cd = 0 (theo (1))

⇒ $\vec{E F} ⊥ \vec{B D}$ hay EF ⊥ BD.

Vậy EF ⊥ BD.

...Xem thêm

Answer 2