Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Trước hết ta chứng minh một bài toán phụ:

Cho $Δ A B C, \hat{A} \geq 90 °$ . Chứng minh rằng $B C^{2} \geq A B^{2} + A C^{2}$ .

Cho bốn điểm A, B, C, D trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng, bất kì hai điểm nào cũng có khoảng cách lớn hơn 10. (ảnh 1)

Vẽ $B H ⊥ A C$ . Vì $\hat{A} \geq 90 °$ nên H nằm trên tia đối của tia AC.

Xét $Δ H B C$ và $Δ H B A$ vuông tại H, ta có:

$B C^{2} = H B^{2} + H C^{2} = (A B^{2} - H A^{2}) + {(H A + A C)}^{2} = A B^{2} - H A^{2} + H A^{2} + A C^{2} + 2 H A . A C = A B^{2} + A C^{2} + 2 H A . A C$

Vì $H A . A C \geq 0$ nên $B C^{2} \geq A B^{2} + A C^{2}$ ( dấu “=” xảy ra khi $H \equiv A$ tức là khi $Δ A B C$ vuông ).

Vận dụng kết quả trên để giải bài toán đã cho

Trường hợp tứ giác ABCD là tứ giác lồi (h.1.14)

Cho bốn điểm A, B, C, D trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng, bất kì hai điểm nào cũng có khoảng cách lớn hơn 10. (ảnh 2)

Ta có: $\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} + \hat{D} = 360 °$

Suy ra trong bốn góc này phải có một góc lớn hơn hoặc bằng $90 °$ , giả sử $\hat{A} \geq 90 °$

Xét $Δ A B D$ ta có $B D^{2} \geq A B^{2} + A D^{2} > 10^{2} + 10^{2} = 200$ suy ra $B D > \sqrt{200}$ , do đó BD > 14

Trường hợp tứ giác ABCD là tứ giác lõm (h.1.15)

Cho bốn điểm A, B, C, D trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng, bất kì hai điểm nào cũng có khoảng cách lớn hơn 10. (ảnh 3)

Nối CA, Ta có: $\hat{A C D} + \hat{A C B} + \hat{B C D} = 360 °$ .

Suy ra trong ba góc này phải có một góc lớn hơn hoặc bằng $120 °$ .

Giả sử $\hat{A C B} \geq 120 °$ , do đó $\hat{A C B}$ là góc tù

Xét $Δ A C B$ có $A B^{2} \geq A C^{2} + B C^{2} > 10^{2} + 10^{2} = 200$

Suy ra $A B > \sqrt{200} \Rightarrow A C > 14$

Vậy luôn tồn tại hai điểm đã cho có khoảng cách lớn hơn 14.

...Xem thêm

Answer 2