Cho a, b, c là ba số khác 0. Chứng minh rằng: a2b2+b2c2+c2a2≥ab+bc+ca

Cho a, b, c là ba số khác 0. Chứng minh rằng: a^2/b^2 + b^2/c^2 + c^2/a^2 lớn hơn bằng a/b + b/c + c/a

Quang Minh

Đã trả lời bởi chuyên gia

đã hỏi trong Lớp 8 Toán học

· 15:28 05/01/2023

Đã trả lời bởi chuyên gia

Cho a, b, c là ba số khác 0. Chứng minh rằng: $\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}} \geq \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$

Trả Lời

Lưu câu hỏi Lưu

Hỏi chi tiết

Quảng cáo

1 câu trả lời 60

Hoàng Bách

3 năm trước

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có:

$(\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}}) (1^{2} + 1^{2} + 1^{2}) \geq {(|\frac{a}{b}| + |\frac{b}{c}| + |\frac{c}{a}|)}^{2}$

Suy ra:

$\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}} \geq (|\frac{a}{b}| + |\frac{b}{c}| + |\frac{c}{a}|) . \frac{1}{3} . (|\frac{a}{b}| + |\frac{b}{c}| + |\frac{c}{a}|)$ (*)

Nhận xét rằng:

$\frac{1}{3} . (|\frac{a}{b}| + |\frac{b}{c}| + |\frac{c}{a}|) \geq \sqrt[3]{|\frac{a b c}{a b c}|} = 1 |\frac{a}{b}| + |\frac{b}{c}| + |\frac{c}{a}| \geq \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$

Suy ra

$(|\frac{a}{b}| + |\frac{b}{c}| + |\frac{c}{a}|) . \frac{1}{3} . (|\frac{a}{b}| + |\frac{b}{c}| + |\frac{c}{a}|) \geq \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$

Từ đó (*) được biến đổi:

$\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}} \geq \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$

Dễ nhận thấy dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c

...Xem thêm

0 bình luận

Đăng nhập để hỏi chi tiết

Quảng cáo

Bạn hỏi - Chuyên gia trả lời

Bạn cần hỏi gì?

1 câu trả lời 60

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 8