Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Ta có: $25 y^{4} + 10 y^{3} - x^{2} y^{2} - 2 y^{2} x$

$= 25 y^{4} + 10 y^{3} + y^{2} - x^{2} y^{2} - 2 y^{2} x - y^{2}$

$= (25 y^{4} + 10 y^{3} + y^{2}) - (x^{2} y^{2} + 2 y^{2} x + y^{2})$

$= y^{2} (25 y^{2} + 10 y + 1) - y^{2} (x^{2} + 2 x + 1)$

$= y^{2} [{(5 y + 1)}^{2} - {(x + 1)}^{2}]$

Do đó: $\ln \frac{x + 1}{5 y + 1} \leq 25 y^{2} + 10 y^{3} - x^{2} y^{2} - 2 y^{2} x$

$\Rightarrow \ln (x + 1) - \ln (5 y + 1) \leq y^{2} [{(5 y + 1)}^{2} - {(x + 1)}^{2}]$

+) TH1: $x + 1 > 5 y + 1$ thì vế phải âm (không thỏa mãn).

+) TH2: $x + 1 \leq 5 y + 1$ thì vế trái không dương, vế phải không âm nên sẽ luôn thỏa mãn khi

$\{\begin{cases} [\begin{array}{l} \{\begin{cases} x + 1 > 0 \\ 5 y + 1 > 0 \end{cases} \\ \{\begin{cases} x + 1 < 0 \\ 5 y + 1 < 0 \end{cases} \end{array} \\ x + 1 \leq 5 y + 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} [\begin{array}{l} \{\begin{cases} x > - 1 \\ y > - \frac{1}{5} \end{cases} \\ \{\begin{cases} x < - 1 \\ y < - \frac{1}{5} \end{cases} \end{array} \\ x \leq 5 y \end{cases} .$ Do x, y là số nguyên dương nên ta có:

$\{\begin{cases} \{\begin{cases} x > - 1 \\ y > - \frac{1}{5} \end{cases} \\ x \leq 5 y \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq 1 \\ y \geq 1 \\ x \leq 5 y \end{cases} (y \leq 2022; x, y \in ℤ) .$

Vậy $y \in [1; 2022], x \in [1; 10110] .$

Ứng với mỗi y nguyên dương có 5y cặp (x, y) Do đó số cặp:

$5 (1 + 2 + 3 + ... + 2022) = \frac{5.2022.2023}{2} = 10226265$ cặp.

Chọn B.

...Xem thêm

Answer 2