Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Cho tam giác OAB đều cạnh 2a. Trên đường thẳng d qua O và vuông góc với (ảnh 1)

Ta có $V_{A B M N} = V_{M . O A B} + V_{N . A O B} = \frac{1}{3} O M . S_{Δ O A B} + \frac{1}{3} O N . S_{Δ O A B} = \frac{1}{3} M N . S_{Δ O A B} .$

Tam giác OAB đều cạnh 2a nên $S_{Δ O A B} = \frac{{(2 a)}^{2} \sqrt{3}}{4} = a^{2} \sqrt{3}$ không đổi.

Do đó $V_{A B M N}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi MN đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có: $Δ O A B$ đều $\Rightarrow M$ là trung điểm của OB.

$\{\begin{cases} A F ⊥ O B \\ A F ⊥ O M \end{cases} \Rightarrow A F ⊥ (O B M) \Rightarrow A F ⊥ B M$

$\{\begin{cases} B M ⊥ A F \\ B M ⊥ A E \end{cases} \Rightarrow B M ⊥ (A E F) \Rightarrow B M ⊥ E F$

Cho tam giác OAB đều cạnh 2a. Trên đường thẳng d qua O và vuông góc với (ảnh 2)

Ta có $∠ B E F = ∠ O M B = ∠ O F N \Rightarrow Δ O B M ∽ Δ O N F (g . g) .$

$\Rightarrow \frac{O N}{O B} = \frac{O F}{O M} \Rightarrow O N = \frac{O B . O F}{O M} = \frac{2 a . a}{x} = \frac{2 a^{2}}{x} .$

$\Rightarrow M N = O M + O N = x + \frac{2 a^{2}}{x} \geq 2 \sqrt{x \frac{2 a^{2}}{x}} = 2 \sqrt{2} a .$ Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x = \frac{2 a^{2}}{x} \Leftrightarrow x = a \sqrt{2} .$

Vậy $V_{A B M N}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $x = a \sqrt{2} .$

Chọn D.

...Xem thêm

Answer 2