Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Theo bài ra ta có:

$a^{2 x} = b^{2 y} = \sqrt{a b}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x = \log_{a} \sqrt{a b} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \log_{a} b \\ 2 y = \log_{b} \sqrt{a b} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \log_{b} a \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} . \frac{1}{\log_{b} a} \\ y = x = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} . \log_{b} a \end{cases}$

Đặt $t = \log_{b} a,$ vì $a > 1, b > 1 \Rightarrow t = \log_{b} a > \log_{b} 1 = 0$ ta có: $\{\begin{cases} x = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} . \frac{1}{t} \\ y = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} . t \end{cases} (t > 0)$

Khi đó ta có:

$P = 6 x + y^{2} = 6 (\frac{1}{4} + \frac{1}{4} . \frac{1}{t}) + {(\frac{1}{4} + \frac{1}{4} t)}^{2}$

$P = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} . \frac{1}{t} + \frac{1}{16} + \frac{1}{8} t + \frac{1}{16} t^{2}$

$P = \frac{1}{16} t^{2} + \frac{1}{8} t + \frac{3}{2 t} + \frac{25}{16} (t > 0)$

Ta có

$P' = \frac{1}{8} t + \frac{1}{8} - \frac{3}{2 t^{2}} = \frac{t^{3} + t^{2} - 12}{8 t^{2}}$

$P' = 0 \Leftrightarrow t^{3} + t^{2} - 12 = 0 \Leftrightarrow t = 2 (t m)$

BBT:

Cho các số thực a, b, x, y thỏa mãn a > 1, b > 1 và a^2x = b^2y = căn bậc hai của ab (ảnh 1)

Vậy $P_{\min} = P (2) = \frac{45}{16} .$

Chọn D.

...Xem thêm

Answer 2