Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Đặt $y = g (x) = f (x^{2} + 3 x - m)$ ta có $g' (x) = (2 x + 3) f' (x^{2} + 3 x - m) .$

Để hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2) thì $g' (x) \geq 0 \forall x \in (0; 2)$ và bằng 0 tại hữu hạn điểm

$\Rightarrow (2 x + 3) f' (x^{2} + 3 x - m) \geq 0 \forall x \in (0; 2) .$

$\Leftrightarrow f' (x^{2} + 3 x - m) \geq 0 \forall x \in (0; 2)$ (do $2 x + 3 > 0 \forall x \in (0; 2)$ ) (*)

Ta có: $f' (x) = (x - 1) (x + 3) \geq 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x \geq 1 \\ x \leq - 3 \end{array}$

Do đó $(*) \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x^{2} + 3 x - m \geq 1 \forall x \in (0; 2) \\ x^{2} + 3 x - m \leq - 3 \forall x \in (0; 2) \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x^{2} + 3 x \geq m + 1 \forall x \in (0; 2) \\ x^{2} + 3 x \leq m - 3 \forall x \in (0; 2) \end{array} (* *) .$

Đặt $h (x) = x^{2} + 3 x,$ khi đó $(* *) \Leftrightarrow [\begin{array}{l} h (x) \geq m + 1 \forall x \in (0; 2) \\ h (x) \leq m - 3 \forall x \in (0; 2) \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \min_{[0; 2]} h (x) \geq m + 1 \\ \max_{[0; 2]} h (x) \leq m - 3 \end{array} .$

Xét hàm số $h (x) = x^{2} + 3 x$ trên [0; 2] ta có $h' (x) = 2 x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{3}{2} \notin [0; 2] .$

Có $h (0) = 0, h (2) = 10$ nên $[\begin{array}{l} \min_{[0; 2]} h (x) = 0 \geq m + 1 \\ \max_{[0; 2]} h (x) = 10 \leq m - 3 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m \leq - 1 \\ m \geq 13 \end{array} .$

Kết hợp điều kiện đề bài ta có $\{\begin{cases} m \in [- 10; 2021] \\ m \in ℤ \end{cases} .$ Vậy có 2019 giá trị của m thỏa mãn.

Chọn B.

...Xem thêm

Answer 2