Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Trong mặt phẳng (anpha) cho hai tia Ox, Oy và góc xOy = 60 độ. Trên tia Oz vuông (ảnh 1)

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN, D' là điểm đối xứng với I qua O

Ta có:

$\{\begin{cases} D M ⊥ O M \\ D M ⊥ S O \end{cases} \Rightarrow D M ⊥ (S O M) \Rightarrow D M ⊥ O H$

$\{\begin{cases} O H ⊥ D M \\ O H ⊥ S M \end{cases} \Rightarrow O H ⊥ (S D M) \Rightarrow O H ⊥ H D$

$\Rightarrow ∠ O H D = 90^{0} \Rightarrow I O = I H = I D .$

Chứng minh tương tự ta có $O K ⊥ (S D N) \Rightarrow O K ⊥ K D \Rightarrow ∠ O K D = 90^{0} \Rightarrow I O = I K = I D .$

$\Rightarrow I O = I M = I N = I H = I K \Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện MNHOK.

Gọi P và Q là trung điểm OM và ON nên P và Q là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OHM và OKN.

Ta có bán kính mặt cầu này là:

$R = I O = R_{Δ O M N} = \frac{M N}{2 \sin ∠ M O N}$

$= \frac{\sqrt{O M^{2} + O N^{2} - 2 O M . O N . \cos O M N}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{O M^{2} + O N^{2} - O M . O N}}{\sqrt{3}}$

Ta có: $O M^{2} + O N^{2} - O M . O N = {(O M + O N)}^{2} - 3 O M . O N = a^{2} - 3 O M . O N$

Lại có $O M . O N \leq \frac{{(O M + O N)}^{2}}{4} = \frac{a^{2}}{4}$ nên $O M^{2} + O N^{2} - O M . O N \geq a^{2} - 3 \frac{a^{2}}{4} = \frac{a^{2}}{4} .$

Do đó ta có $R \geq \frac{\sqrt{\frac{a^{2}}{4}}}{\sqrt{3}} = \frac{a}{2 \sqrt{3}} .$

Vậy $S = 4 π R^{2} \geq 4 π . {(\frac{a}{2 \sqrt{3}})}^{2} = \frac{π a^{2}}{3} .$

Chọn D.

...Xem thêm

Answer 2