Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = a căn bậc hai của 3 (ảnh 1)

Vì tam giác SAB cân nên $S H ⊥ A B$ .

Ta có $\{\begin{cases} (S A B) ⊥ (A B C D) = A B \\ S H \subset (S A B), S H ⊥ A B \end{cases} \Rightarrow S H ⊥ (A B C D) .$

Vì HK là đường trung bình của tam giác SBD nên $H K / / B D \Rightarrow H K / / (S B D) \supset S D .$

$\Rightarrow d (S D; H K) = d (H K; (S B D)) = d (H; (S B D)) .$

Gọi O, M lần lượt là trung điểm của BD, SO

Ta có $S C ⊥ B D$ (do ABCD là hình vuông), HM // AC (do HM là đường trung bình của $Δ A B O$ )

$\Rightarrow H M ⊥ B D$ .

Ta có $\{\begin{cases} B D ⊥ H M \\ B D ⊥ S H \end{cases} \Rightarrow B D ⊥ (S H M) .$

Trong (SHM) kẻ $H I ⊥ S M$ ta có $\{\begin{cases} H I ⊥ S M \\ H I ⊥ B D \end{cases} \Rightarrow H I ⊥ (S B D) \Rightarrow d (H; (S B D)) = H I .$

Vì ABCD là hình vuông cạnh $a \Rightarrow A C = a \sqrt{2} \Rightarrow A O = \frac{a \sqrt{2}}{2} \Rightarrow H M = \frac{1}{2} A O = \frac{a \sqrt{2}}{4} .$

Ta có: $H D = \sqrt{A H^{2} + H D^{2}} = \sqrt{{(\frac{a}{2})}^{2} + a^{2}} = \frac{a \sqrt{5}}{2} .$

Xét tam giác vuông SHD có: $S H = \sqrt{S D^{2} - H D^{2}} = \sqrt{3 a^{2} - \frac{5 a^{2}}{4}} = \frac{a \sqrt{7}}{2} .$

Xét tam giác vuông SHM có: $H I = \frac{S H . H M}{\sqrt{S H^{2} + H M^{2}}} = \frac{\frac{a \sqrt{7}}{2} . \frac{a \sqrt{2}}{4}}{\sqrt{\frac{7 a^{2}}{4} + \frac{a^{2}}{8}}} = \frac{a \sqrt{105}}{30} .$

Vậy $d (H K; S D) = \frac{a \sqrt{105}}{30} .$

Chọn C.

...Xem thêm

Answer 2