Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

ĐKXĐ: $\{\begin{cases} \frac{\sqrt{x - 2}}{100 y} > 0 \\ x - 2 \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x > 2 \\ y > 0 \end{cases} .$

Ta có:

$\log \frac{\sqrt{x - 2}}{100 y} = (y - \sqrt{x - 2}) (y + \sqrt{x - 2} + 1) - 2$

$\Leftrightarrow \log \sqrt{x - 2} - \log y - 2 = y^{2} - (x - 2) + y - \sqrt{x - 2} - 2$

$\Leftrightarrow (x + 2) + \sqrt{x - 2} + \log \sqrt{x - 2} = y^{2} + y + \log y$

Xét hàm đặc trưng $f (t) = t^{2} + t + \log t (t > 0)$ ta có $f' (t) = 2 t + 1 + \frac{1}{t \ln 10} > 0 \forall t > 0$ , do đó hàm số đồng biến trên $(0; + \infty)$ .

Do đó $f (\sqrt{x - 2}) = f (y) \Leftrightarrow \sqrt{x - 2} = y \Leftrightarrow x - 2 = y^{2} \Leftrightarrow x = y^{2} + 2 > 2.$

Khi đó ta có: $P = \frac{\ln (y^{2} + 2)}{\sqrt[2021]{x}} = \frac{\ln x}{\sqrt[2021]{x}}$

Xét hàm số $P (x) = \frac{\ln x}{\sqrt[2021]{x}}$ với x > 2 ta có: $P' (x) = \frac{\frac{\sqrt[2021]{x}}{x} - \frac{1}{2021} . x^{\frac{- 2020}{2021}} \ln x}{{(\sqrt[2021]{x})}^{2}}$

$P' (x) = 0 \Leftrightarrow \frac{\sqrt[2021]{x}}{x} - \frac{1}{2021} . \frac{1}{x^{\frac{2020}{2021}}} \ln x = 0 \Leftrightarrow 2021 x - x \ln x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 (k t m) \\ x = e^{2021} (t m) \end{array}$

BBT:

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn log căn bậc hai của x - 2/100y = (y - căn bậc hai của x - 2) (ảnh 1)

Vậy $P_{\max} \in (700; 800) .$

Chọn C.

...Xem thêm

Answer 2