Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Xét phương trình hoành độ giao điểm $x^{4} - 3 x^{2} + m = 0 (1) .$

Đặt $t = x^{2}$ ta có $t^{2} - 3 t + m = 0 (2) .$

Vì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt nên phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt

$\Rightarrow \{\begin{cases} Δ = 9 - 4 m > 0 \\ S = 3 > 0 \\ P = m > 0 \end{cases} \Leftrightarrow 0 < m < \frac{9}{4} .$

Giả sử $t_{1} < t_{2}$ là 2 nghiệm phân biệt của phương trình (2) thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt $- \sqrt{t_{2}} < - \sqrt{t_{1}} < \sqrt{t_{1}} < \sqrt{t_{2}}$ .

Do tính đối xứng nên ta dễ có

$S_{1} = S_{3} = \int_{\sqrt{t_{1}}}^{\sqrt{t_{2}}} (- x^{4} + 3 x^{2} - m) d x$

$= (- \frac{x^{5}}{5} + x^{3} - m x) |\begin{array}{l} \sqrt{t_{2}} \\ \sqrt{t_{1}} \end{array}$

$= - \frac{1}{5} (t_{2}^{2} \sqrt{t_{2}} - t_{1}^{2} \sqrt{t_{1}}) + (t_{2} \sqrt{t_{2}} - t_{1} \sqrt{t_{1}}) - m (\sqrt{t_{2}} - \sqrt{t_{1}})$

$S_{2} = \int_{- \sqrt{t_{1}}}^{\sqrt{t_{1}}} (x^{4} - 3 x^{2} + m) d x = (\frac{x^{5}}{5} - x^{3} + m x) |\begin{array}{l} \sqrt{t_{1}} \\ - \sqrt{t_{1}} \end{array}$

$= 2 (\frac{t_{1}^{2} \sqrt{t_{1}}}{5} - t_{1} \sqrt{t_{1}} + m \sqrt{t_{1}})$

Theo bài ra ta có: $S_{1} + S_{3} = 2 S_{2}$

$\Leftrightarrow - \frac{1}{5} (t_{2}^{2} \sqrt{t_{2}} - t_{1}^{2} \sqrt{t_{1}}) + (t_{2} \sqrt{t_{2}} - t_{1} \sqrt{t_{1}}) - m (\sqrt{t_{2}} - \sqrt{t_{1}}) = \frac{t_{1}^{2} \sqrt{t_{1}}}{5} - t_{1} \sqrt{t_{1}} + m \sqrt{t_{1}}$

$\Leftrightarrow - \frac{1}{5} t_{2}^{2} \sqrt{t_{2}} + t_{2} \sqrt{t_{2}} - m \sqrt{t_{2}} = 0$

$\Leftrightarrow \sqrt{t_{2}} (- \frac{1}{5} t_{2}^{2} + t_{2} - m) = 0$

$\Leftrightarrow - \frac{1}{5} t_{2}^{2} + t_{2} - m = 0 (3)$ (do $t_{2} > 0$ )

Vì $t_{2}$ là nghiệm của phương trình (2) nên $t_{2}^{2} - 3 t_{2} + m = 0 \Leftrightarrow m = - t_{2}^{2} + 3 t_{2} .$

Thay vào (3) ta có:

$- \frac{1}{5} t_{2}^{2} + t_{2} + t_{2}^{2} - 3 t_{2} = 0$

$\Leftrightarrow \frac{4}{5} t_{2}^{2} - 2 t_{2} = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} t_{2} = 0 (k t m) \\ t_{2} = \frac{5}{2} (t m) \end{array}$

Khi đó $m = - t_{2}^{2} + 3 t_{2} = - {(\frac{5}{2})}^{2} + 3. \frac{5}{2} = \frac{5}{4} (t m) \Rightarrow a = 5, b = 4.$

Vậy $T = a + b = 5 + 4 = 9 \in (8; 10) .$

Chọn A.

...Xem thêm

Answer 2