Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Gọi M(x; y; z) là một tiếp điểm bất kì của tiếp tuyến kẻ từ A đến mặt cầu (S)

$M \in (S) \Rightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} = 25.$

Vì $A \in Δ \Rightarrow A (10 + t; - t; 10 + t)$ .

Vì AM là tiếp tuyến của (S) có tâm O(0; 0; 0), bán kính R = 5 nên $A M ⊥ O M \Rightarrow \vec{A M} . \vec{O M} = 0$

Ta có: $\vec{A M} = (x - 10 - t; y + t; z - 10 - t), \vec{O M} = (x; y; z)$

$\Rightarrow x (x - 10 - t) + y (y + t) + z (z - 10 - t) = 0$

$\Leftrightarrow x^{2} - 10 x - t x + y^{2} + t y + z^{2} - 10 z - t z = 0$

$\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} - 10 x - 10 z - t (x - y + z) = 0$

$\Leftrightarrow 25 - 10 x - 10 z - t (x + y + z) = 0$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x - y + z = 0 \\ 10 z + 10 z = 25 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x - y + z = 0 \\ 2 x + 2 z = 5 \end{cases}$

$\Rightarrow (P)$ chứa đường thẳng $d : \{\begin{cases} x - y + z = 0 \\ 2 x + 2 y = 5 \end{cases}$ cố định.

Ta có: $d : \{\begin{cases} x - y + z = 0 \\ 2 x + 2 z = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} z = t \\ y = x + t \\ 2 x = - 2 z + 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x = - 2 t + 5 \\ y = x + t \\ z = t \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{5}{2} - t \\ y = \frac{5}{2} \\ z = t \end{cases}$

$\Rightarrow d$ có 1 VTCP là $\vec{u} = (- 1; 0; 1) .$

Khi đó ta có $\sin (d; (O x y)) = \cos (\vec{u}; \vec{i}) = \frac{|\vec{u} . \vec{i}|}{|\vec{u}| . |\vec{i}|} = \frac{|- 1.1 + 0.0 + 1.0|}{\sqrt{2} .1} = \frac{1}{\sqrt{2}} .$

Vậy $∠ (d; (O x y)) = 45^{0} .$

Chọn C.

...Xem thêm

Answer 2