Cho khối cầu \(\left( S \right)\) tâm I, bán kính R không đổi. Một khối trụ thay đổi có chiều cao h và bán kính đáy r nội tiếp khối cầu. Tính chiều cao h theo R sao cho thể tích của khối trụ lớn nhất.

A. \(h = \frac{{2R\sqrt 3 }}{3}\)
B. \(h = \frac{{R\sqrt 2 }}{2}\)
Quảng cáo
1 câu trả lời 181
Đáp án A
Gọi r, h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của khối trụ.
Vì khối trụ nội tiếp khối cầu \( \Rightarrow {R^2} = {r^2} + {\left( {\frac{h}{2}} \right)^2} \Leftrightarrow {r^2} = {R^2} - \frac{{{h^2}}}{4}\).
Thể tích của khối trụ là \(V = \pi {r^2}h = \pi h\left( {{R^2} - \frac{{{h^2}}}{4}} \right) = \frac{\pi }{4}.h\left( {4{{\rm{R}}^2} - {h^2}} \right)\).
Xét hàm số \(f\left( h \right) = 4{{\rm{R}}^2}h - {h^3}\) với \(h \in \left( {0;2{\rm{R}}} \right)\), có \(f'\left( h \right) = 4{{\rm{R}}^2} - 3{h^2} = 0 \Leftrightarrow h = \frac{{2R}}{{\sqrt 3 }}\).
Lập bảng biến thiên, ta được \(f\left( h \right)\) đạt GTLN khi và chỉ khi \(h = \frac{{2{\rm{R}}\sqrt 3 }}{3}\).
Quảng cáo
Bạn cần hỏi gì?
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
Đã trả lời bởi chuyên gia
106578 -
Đã trả lời bởi chuyên gia
95982 -
Đã trả lời bởi chuyên gia
74349

