Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA (ảnh 1)

Ta có

$\{\begin{cases} B C ⊥ A B \\ B C ⊥ S A \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ (S A B) \Rightarrow B C ⊥ A H$

$\{\begin{cases} A H ⊥ S B \\ A H ⊥ B C \end{cases} \Rightarrow A H ⊥ (S B C) \Rightarrow A H ⊥ H K$

Chứng minh tương tự ta có $B L ⊥ L K .$

$\Rightarrow A H K I$ là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm O là trung điểm của AK.

$\Rightarrow$ Đáy của hình nón (N) cũng chính là đường tròn tâm O bán kính $R = \frac{1}{2} A K .$

Ta có: $S A = a \sqrt{2}; A C = a \sqrt{2}$ (do ABCD là hình vuông cạnh $a) \Rightarrow Δ S A C$ vuông cân tại A.

$\Rightarrow S C = a \sqrt{2} . \sqrt{2} = 2 a$ và $A K = \frac{1}{2} S C = a$ (đường cao đồng thời là trung tuyến).

$\Rightarrow$ Bán kính đáy hình nón (N) là $R = \frac{1}{2} A K = \frac{1}{2} a .$

Ta có $\{\begin{cases} A H ⊥ (S B C) \\ A K ⊥ S C \end{cases} \Rightarrow A H ⊥ S C \Rightarrow S C ⊥ (A H K L) .$

Trong (SAC) kẻ đường thẳng song song với SC cắt AC tại I ta có $\{\begin{cases} I \in (A B D) \\ O I / / S C \Rightarrow O I ⊥ (A H K L) \end{cases} .$

$\Rightarrow I$ là đỉnh của hình nón (N) và IO là đường cao của hình nón (N).

Dễ thấy OI là đường trung bình của tam giác AKC nên $O I = \frac{1}{2} K C = \frac{1}{4} S C = \frac{a}{2} = h .$

Vậy thể tích khối nón là $V = \frac{1}{3} π . R^{2} . h = \frac{1}{3} π . {(\frac{a}{2})}^{2} . \frac{a}{4} = \frac{π a^{3}}{48} .$

Chọn A.

...Xem thêm

Answer 2