Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Đặt AA' = x > 0 ta có:

$\vec{A B'} . \vec{B C'} = (\vec{B B'} - \vec{B A}) (\vec{B C} + \vec{B B'})$

$= \vec{B B'} . \vec{B C} + {\vec{B B'}}^{2} - \vec{B A} . \vec{B C} - \vec{B A} . \vec{B B'}$

$= \vec{B B'} . (\vec{B C} - \vec{B A}) + {\vec{B B'}}^{2} - \vec{B A} . \vec{B C}$

$= \vec{B B'} . \vec{A C} + {\vec{B B'}}^{2} - \vec{B A} . \vec{B C}$

$= {\vec{B B'}}^{2} - \vec{B A} . \vec{B C}$ (do $B B' ⊥ A C$ )

$= x^{2} - B A . B C . \cos 60^{0} + B B'^{2}$

$= x^{2} - 2 a^{2}$

Ta có: $A B' = B C' = \sqrt{x^{2} + 4 a^{2}}$ (định lí Pytago)

$\Rightarrow \vec{A B'} . \vec{B C'} = A B' . B C' . \cos (\vec{A B'}; \vec{B C'}) = \frac{1}{2} (x^{2} + 4 a^{2})$

$\Rightarrow \frac{1}{2} (x^{2} + 4 a^{2}) = x^{2} - 2 a^{2}$

$\Leftrightarrow x^{2} + 4 a^{2} = 2 x^{2} - 4 a^{2}$

$\Leftrightarrow x^{2} = 8 a^{2} \Leftrightarrow x = 2 \sqrt{2} a$

Vậy thể tích khối lăng trụ là $V_{A B C . A' B' C'} = A A' . S_{Δ A B C} = 2 \sqrt{2} a . \frac{{(2 a)}^{2} \sqrt{3}}{4} = 2 \sqrt{6} a^{3} .$

Chọn D.

...Xem thêm

Answer 2