Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Phương trình hoành độ giao điểm của parabol và đường thẳng đã cho là

$x^{2} + x - 2 = (m + 1) x + 2 \Leftrightarrow x^{2} - m x - 4 = 0 (1) .$

Do phương trình (1) có P = -4 < 0 nên nó luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu. Giả sử hai nghiệm đó là $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ . Theo định lí Vi-ét ta có:

$\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = m \\ x_{1} . x_{2} = - 4 \end{cases} .$

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $y = x^{2} + x - 2$ và đường thẳng $y = (m + 1) x + 2$ là:

$S = \int_{x_{1}}^{x_{2}} |x^{2} + x - 2 - [(m + 1) x + 2]| d x = \int_{x_{1}}^{x_{2}} |x_{2} - m x - 4| d x = - \int_{x_{1}}^{x_{2}} (x^{2} - m x - 4) d x = \int_{x_{2}}^{x_{1}} (x^{2} - m x - 4) d x$

$= (\frac{1}{3} x^{3} - \frac{m}{2} x^{2} - 4 x) |\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array} = \frac{1}{3} (x_{1}^{3} - x_{2}^{3}) - \frac{m}{2} (x_{1}^{2} - x_{2}^{2}) - 4 (x_{1} - x_{2})$

$= \frac{1}{6} (x_{1} - x_{2}) [2 (x_{1}^{2} + x_{1} x_{2} + x_{2}^{2}) - 3 m (x_{1} + x_{2}) - 24]$

$= \frac{1}{6} (x_{1} - x_{2}) [2 {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} - 3 m (x_{1} + x_{2}) - 24]$

$= \frac{1}{6} (x_{1} - x_{2}) (2 m^{2} + 8 - 3 m^{2} = 24) = \frac{1}{6} (x_{1} - x_{2}) (m^{2} + 16) .$

Suy ra $S^{2} = \frac{1}{36} {(x_{2} - x_{1})}^{2} {(m^{2} + 16)}^{2} = \frac{1}{36} [{(x_{1} + x_{2})}^{2} - 4 x_{1} x_{2}] {(m^{2} + 16)}^{2} = \frac{1}{36} {(m^{2} + 16)}^{3}$

$\Rightarrow S^{2} \geq \frac{1}{36} {.16}^{3} = \frac{1024}{9} \Rightarrow S \geq \frac{32}{3} .$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow m = 0$

Vậy $S_{\min} = \frac{32}{3}$ khi m = 0.

Chọn C.

...Xem thêm

Answer 2