Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh a (ảnh 1)

Từ M hạ $M K ⊥ A O$ tại K. Suy ra $(M N, (A B C D)) = (M N, N K) = \hat{M N K} \Rightarrow \hat{M N K} = 60^{0} .$

$K N^{2} = C K^{2} + N C^{2} - 2 C K . N C . \cos 45^{0} = {(\frac{3}{4} a \sqrt{2})}^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2} - 2 \frac{3}{4} a \sqrt{2} \frac{a}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{5}{8} a^{2} \Rightarrow K N = \frac{a \sqrt{10}}{4}$

Suy ra $M K = N K . \tan 60^{0} = \frac{a \sqrt{10}}{4} . \sqrt{3} = \frac{a \sqrt{30}}{4} \Rightarrow S O = \frac{a \sqrt{30}}{2} .$

Gắn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ ta có

$S (0; 0; \frac{a \sqrt{30}}{2}); A (0; - \frac{a \sqrt{2}}{2}; 0); M (0; - \frac{a \sqrt{2}}{4}; \frac{a \sqrt{30}}{4}) .$

$C (0; \frac{a \sqrt{2}}{2}; 0); B (- \frac{a \sqrt{2}}{2}; 0; 0); N (- \frac{a \sqrt{2}}{4}; \frac{a \sqrt{2}}{4}; 0) .$

$\vec{M N} (- \frac{a \sqrt{2}}{4}; \frac{2 a \sqrt{2}}{4}; - \frac{a \sqrt{30}}{4}) = - \frac{a \sqrt{2}}{4} (1; - 2; \sqrt{15}) .$ Chọn $\vec{u} (1; - 2; \sqrt{15})$ là véc tơ chỉ phương của đường thẳng MN.

Mặt phẳng (SBD) có phương trình là y = 0 có véc tơ pháp tuyến $\vec{n} (0; 1; 0) .$

$\sin (M N, (S B D)) = \frac{|\vec{u} . \vec{n}|}{|\vec{u}| |\vec{n}|} = \frac{2}{\sqrt{1 + 4 + 15}} = \frac{\sqrt{5}}{5} \Rightarrow \cos (M N, (S B D)) = \sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{2}} = \frac{2 \sqrt{5}}{5} .$

Chọn C.

...Xem thêm

Answer 2