Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A (ảnh 1)

Kẻ $B' H ⊥ B C$ tại H (do $\hat{B B' C}$ là góc nhọn nên H thuộc đoạn $B C), H K ⊥ A B$ tại K và giả sử B'H = x với x > 0.

Ta có: $\{\begin{cases} (B C C' B') ⊥ (A B C) \\ (B C C' B') \cap (A B C) = B C \\ B' H \subset (B C C' B'), B' H ⊥ B C \end{cases} \Rightarrow B' H ⊥ (A B C) .$

Do $\{\begin{cases} A B ⊥ H K \\ A B ⊥ B' H \end{cases}$ nên $A B ⊥ (B' H K) \Rightarrow A B ⊥ B' K$ .

Từ đó suy ra $\hat{((A B B' A'), (A B C))} = \hat{(B' K, H K)} = \hat{B' K H} = 45^{0} \Rightarrow Δ B' H K$ vuông cân tại H.

$\Rightarrow H K = B' H = x .$

Trong tam giác BKH vuông tại K có: $B H = \frac{H K}{\sin \hat{A B C}} = \frac{2 x \sqrt{3}}{3} .$

Do tứ giác BCC'B' là hình thoi nên BB' = BC = 2a

Trong tam giác B'HB vuông tại H có: $B H^{2} + B' H^{2} = B B'^{2} \Leftrightarrow \frac{4 x^{2}}{3} + x^{2} = 4 a^{2} \Leftrightarrow x = \frac{2 a \sqrt{21}}{7} .$

Trong tam giác ABC vuông tại A có: $A C = B C . \sin 60^{0} = a \sqrt{3}; A B = B C . \cos 60^{0} = a .$

$\Rightarrow S_{A B C} = \frac{1}{2} A B . A C = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} .$

Vậy thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' là $V = B' H . S_{A B C} = \frac{2 a \sqrt{21}}{7} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \sqrt{7} a^{3}}{7} .$

Chọn D.

...Xem thêm

Answer 2