`1)`

`4cos^3x+3\sqrt2 sin2x=8cosx`

`⇔4cos^3x+6\sqrt2 sinx.cosx-8cosx`

`⇔cosx(4cos^2x+6\sqrt2 sinx-8)=0`

`@ cosx=0⇒x=pi/2+kpi (k∈z)`

`@ 4cos^2x+6\sqrt2 sinx -8=0`

`⇔4(1-sin^2x)+6\sqrt2 sinx-8=0`

`⇔-4sin^2x+6\sqrt2 sinx-4=0`

⇒`[(sinx=\sqrt2 (L)),(sinx=1/(\sqrt2)):}`

⇒`[(x=pi/4+k2pi),(x=(3pi)/4+k2pi):}(k∈Z)`

Vậy pt có 3 họ nghiệm như trên

`2)`

`(sinx+cosx)^2-\sqrt3 cos2x=0`

⇔`1+2sinxcosx-\sqrt3 cos2x=0`

`⇔sin2x-\sqrt3 cos2x=-1`

`⇔2(1/2 sin2x-(\sqrt3)/2 cos2x)=-1`

`⇔cos(2x+pi/6)=1/2`

⇒`[(2x+pi/6=pi/3+k2pi),(2x+pi/6=-pi/3+k2pi):}` 

⇒`[(x=pi/12+kpi),(x=-pi/4+kpi):}(k∈Z)`

Vậy pt có 2 họ nghiệm như trên

`3)`

`\sqrt3 sin2x+cos2x=2cosx-1`

`⇔2\sqrt3 sinx.cosx +2cos^2x-2cosx=0`

`⇔cosx(2\sqrt3 sinx+2cosx-2)=0`

`@⇒cosx=0⇒x=pi/2+kpi(k∈Z)`

`@2\sqrt3 sinx+2cosx=2`

`⇔4((\sqrt3)/2 sinx+1/2 cosx)=2`

`⇔cos(x-pi/3)=1/2`

⇒`[(x-pi/3=pi/3+k2pi ),(x-pi/3=-pi/3+k2pi):}`

⇒`[(x=(2pi)/3+k2pi),(x=k2pi):}(k∈Z)`

vậy pt có 3 họ nghiệm như trên

`4)`

`\sqrt3 sin2x -1=cos2x-2cosx`

`⇔2\sqrt3 sinx.cosx-2cos^2x+2cosx=0`

`⇔2cosx(\sqrt3 sinx-cosx+1)=0`

`@cosx=0⇒pi/2+kpi (k∈Z)`

`@` `\sqrt3 sinx-cosx+2=0`

`⇔2((\sqrt3)/2 sinx-1/2 cosx)=-1`

`⇔cos(x+pi/3)=1/2`

⇒`[(x+pi/3=pi/3+k2pi ),(x+pi/3=-pi/3+k2pi):}`

⇒`[(x=(-2pi)/3+k2pi),(x=k2pi):}(k∈Z)`

Vậy pt có 2 họ nghiệm như trên