Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Chọn D.

Hàm số được viết lại thành $(x^{2} - 3 x + 2) m + x^{3} - x^{2} + 1 - y = 0 .$

Một điểm $M (x_{0}; y_{0})$ là điểm cố định của đồ thị hàm số thì phương trình $(x_{0}^{2} - 3 x_{0}^{} + 2) m + x_{0}^{3} - x_{0}^{2} + 1 - y_{0} = 0$ phải nghiệm đúng với mọi m xảy ra khi và chỉ khi $\{\begin{cases} x_{0}^{2} - 3 x_{0} + 2 = 0 \\ x_{0}^{3} - x_{0}^{2} + 1 - y_{0} = 0 \end{cases} \Rightarrow [\begin{array}{l} x_{0} = 1; y_{0} = 1 \\ x_{0} = 2; y_{0} = 5 \end{array} .$

Giả sử $A (1; 1), B (2; 5) \Rightarrow \vec{A B} = (1; 4)$ khi đó hệ số góc của đường thẳng AB là k=4

Đặt $f (x) = x^{3} + (m - 1) x^{2} - 3 m x + 2 m + 1$

Để trên đồ thị hàm số có điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng AB thì hệ số góc tại tiếp điểm phải bằng $k' = - \frac{1}{4} .$ Điều đó xảy ra khi và chỉ khi $f' (x) = - \frac{1}{4}$ có nghiệm.

Ta có $f' (x) = 3 x^{2} + 2 (m - 1) x - 3 m .$

Phương trình $f' (x) = - \frac{1}{4} \Leftrightarrow 3 x^{2} + 2 (m - 1) x - 3 m = - \frac{1}{4} (1) .$

Phương trình (1) có nghiệm khi $Δ' \geq 0 \Leftrightarrow m \in (- \infty; \frac{- 7 - 4 \sqrt{3}}{2}] \cup [\frac{- 7 + 4 \sqrt{3}}{2}; + \infty) .$

Với $\frac{- 7 + 4 \sqrt{3}}{2} \approx - 0, 03$ nên các số nguyên dương $m \in [- 2020; 2020]$ là $\{1; 2; 3; . . .; 2020\} .$

Vậy có 2020 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

...Xem thêm

Answer 2