Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Chọn C.

Xét hàm số $f (x) = 2020^{x} - 2020^{- x} .$

Tập xác định: D=R

Ta có:

$\forall x \in D \Rightarrow - x \in D; f (- x) = 2020^{- x} - 2020^{x} = - (2020^{x} - 2020^{- x}) = - f (x)$

Vậy hàm số $f (x) = 2020^{x} - 2020^{- x}$ là hàm số lẻ.

Lại có:

$f' (x) = 2020^{x} . \ln 2020 - 2020^{- x} . \ln 2020 . (- x)' = 2020^{x} . \ln 2020 + 2020^{- x} . \ln 2020 > 0 \forall x \in D$

Do đó hàm số $f (x) = 2020^{x} - 2020^{- x}$ luôn đồng biến trên R

Theo đề bài ta có:

$f (\log_{2} x - m) + f (\log_{2}^{3} x) = 0 \Leftrightarrow f (\log_{2} x - m) = - f (\log_{2}^{3} x) \Leftrightarrow f (\log_{2} x - m) = f (- \log_{2}^{3} x)$

(Do f(x) là hàm số lẻ)

Mặt khác hàm số f(x) luôn đồng biến trên R nên phương trình có nghiệm duy nhất:

$\log_{2} x - m = - \log_{2}^{3} x \Leftrightarrow m = \log_{2}^{3} x + \log_{2} x$

Đặt $\log_{2} x = 1 .$ Với $x \in (1; 16) \Rightarrow t \in (0; 4) .$

Yêu cầu bài toán trở thành, tìm m để phương trình:

$m = t^{3} + t$ có nghiệm $t \in (0; 4) .$

Xét hàm số $f (t) = t^{3} + t$ trên khoảng (0;4)

Ta có: $f' (t) = 3 t^{2} + t > 0 \forall t$ nên hàm số f(t) đồng biến trên (0;4)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy, để phương trình có nghiệm trên khoảng (0;4) thì: 0<m<68

Vậy giá trị nguyên lớn nhất của tham số m để phương trình $f (\log_{2} x - m) + f (\log_{2}^{3} x) = 0$ có nghiệm $x \in (1; 16)$ lầ m=67

...Xem thêm

Answer 2