Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Đáp án B

Phương pháp giải:

- Kẻ $B^{'} H ⊥ B C (H \in B C)$ . Chứng minh $B^{'} H ⊥ (A B C)$ .

- Đặt $B^{'} H = x (x > 0)$ , tính BH theo x.

- Gọi M là trung điểm của AB, trong (ABC) kẻ $H K / / C M (K \in A B)$ , tính theo x, từ đó tính $S_{A B B^{'} A^{'}}$ theo x.

- Tính $V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = \frac{3}{2} V_{C . A B B^{'} A^{'}} = \frac{3}{2} B^{'} K . S_{A B B^{'} A^{'}} . d (C; (A B B^{'} A^{'})) = B^{'} H . S_{Δ A B C}$ . Giải phương trình tìm x, từ đó tính $V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}}$ .

Giải chi tiết:

Kẻ $B^{'} H ⊥ B C (H \in B C)$ .

Ta có: $\{\begin{cases} (B C C^{'} B^{'}) ⊥ (A B C) = B C \\ B^{'} H \subset (B C C^{'} B^{'}); B^{'} H ⊥ B C \end{cases}$ $\Rightarrow B^{'} H ⊥ (A B C)$ .

Đặt $B^{'} H = x (x > 0) \Rightarrow B H = \sqrt{a^{2} - x^{2}}$ (Định lí Pytago trong tam giác vuông BB'H).

Gọi M là trung điểm của AB ta có $C M ⊥ A B$ và $C M = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ (do $Δ A B C$ đều ạnh a ).

Trong (ABC) kẻ $H K / / C M (K \in A B)$ , áp dụng định lí Ta-lét ta có:

$\frac{H K}{C M} = \frac{B H}{B C} \Rightarrow \frac{H K}{\frac{a \sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}{a}$ $\Rightarrow H K = \frac{\sqrt{3} \sqrt{a^{2} - x^{2}}}{2}$ .

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ta có:

Ta có: $B^{'} K^{2} = B^{'} H^{2} + H K^{2} = x^{2} + \frac{3}{4} (a^{2} - x^{2}) = \frac{3}{4} a^{2} + \frac{1}{4} x^{2} \Rightarrow B^{'} K = \frac{\sqrt{3 a^{2} + x^{2}}}{2}$ .

Khi đó ta có: $\{\begin{cases} A B ⊥ B^{'} H \\ A B ⊥ H K (H K / / C M) \end{cases} \Rightarrow A B ⊥ (B^{'} H K) \Rightarrow A B ⊥ B^{'} K$

Ta có: $S_{A B B^{'} A^{'}} = B^{'} K . A B = \frac{a \sqrt{3 a^{2} + x^{2}}}{2}$ .

$C C^{'} / / B B^{'} \Rightarrow C C^{'} / / (A B B^{'} A^{'}) \Rightarrow d (C C^{'}; (A B B^{'} A^{'})) = d (C; (A B B^{'} A^{'})) = \frac{a \sqrt{12}}{5}$

$\Rightarrow V_{C . A B B^{'} A^{'}} = \frac{1}{3} S_{A B B^{'} A^{'}} . d (C; (A B B^{'} A^{'}))$

$= \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{3 a^{2} + x^{2}}}{2} . \frac{a \sqrt{12}}{5}$

$= \frac{a^{2} \sqrt{12} \sqrt{3 a^{2} + x^{2}}}{30} = \frac{2}{3} V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}}$

$\Rightarrow V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = \frac{3}{2} . \frac{a^{2} \sqrt{12} \sqrt{3 a^{2} + x^{2}}}{30} = \frac{a^{2} \sqrt{12} \sqrt{3 a^{2} + x^{2}}}{20}$

Lại có $V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = B^{'} H . S_{Δ A B C} = x . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$

$\Rightarrow \frac{a^{2} \sqrt{12} \sqrt{3 a^{2} + x^{2}}}{20} = x . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$

$\Leftrightarrow \frac{2 \sqrt{3 a^{2} + x^{2}}}{5} = x \Leftrightarrow 4 (3 a^{2} + x^{2}) = 25 x^{2}$

$\Leftrightarrow 21 x^{2} = 12 a^{2} \Leftrightarrow x = \frac{2 \sqrt{7}}{7} a$

Vậy $V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = x . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{2 \sqrt{7}}{7} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{21} a^{3}}{14}$ .

...Xem thêm

Answer 2