Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên AB $\Rightarrow M H ⊥ (A A^{'} B^{'} B) .$

Khi đó: $V_{M . A A^{'} B^{'} B} = \frac{1}{3} M H . S_{A A^{'} B^{'} B} = \frac{1}{3} M H . A B . A A^{'} = \frac{R}{3} M H . A B .$

Vậy để ${(V_{M . A A^{'} B^{'} B})}_{\max} \Leftrightarrow {(M H . A B)}_{\max} .$

Khi AB cố định thì ${(M H . A B)}_{\max} \Leftrightarrow M H_{\max} \Leftrightarrow$ M nằm chính giữa cung lớn AB, suy ra $O \in M H \Rightarrow$ H là trung điểm của AB.

Đặt $O H = x \Rightarrow \{\begin{cases} M H = M O + O H = R + x \\ A B = 2 H B = 2 \sqrt{O B^{2} - O H^{2}} = 2 \sqrt{R^{2} - x^{2}} \end{cases} .$

Suy ra: $M H . A B = (R + x) .2 \sqrt{R^{2} - x^{2}}$

$\Leftrightarrow {(M H . A B)}^{2} = 4 {(R + x)}^{2} . (R^{2} - x^{2})$

$= \frac{4}{3} (R + x) (R + x) (R + x) . (3 R - 3 x)$

$\leq \frac{4}{3} {(\frac{(R + x) + (R + x) + (R + x) + (3 R - 3 x)}{4})}^{4} = \frac{27 R^{4}}{4} .$

Dấu “=” xảy ra khi: $R + x = 3 R - 3 x \Leftrightarrow x = \frac{R}{2} .$

Suy ra $M H . A B \leq \frac{3 \sqrt{3} R^{2}}{2} \Rightarrow V_{M . A A^{'} B^{'} B} \leq \frac{R}{3} . \frac{3 \sqrt{3} R^{2}}{2} = \frac{R^{3} \sqrt{3}}{2} \Rightarrow {(V_{M . A A^{'} B^{'} B})}_{\max} = \frac{R^{3} \sqrt{3}}{2} .$

Chọn B

...Xem thêm

Answer 2