Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Đáp án B

$(α)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (1; - 2; 2) .$

$Δ : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z}{2}$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $2 x - y - 1 = 0; y - z - 1 = 0.$

(P) là mặt phẳng chứa $Δ$ nên phương trình (P) có dạng

$m (2 x - y - 1) + n (y - z - 1) = 0; (m^{2} + n^{2} > 0) .$

$\Rightarrow 2 m x + (n - m) y - n z - m - n = 0$

$\cos ((P), (α)) = \frac{|4 m - 4 n|}{3 \sqrt{5 m^{2} - 2 m n + 2 n^{2}}} .$

+ Với n=0: $\cos ((P), (α)) = \frac{|4 m|}{3 \sqrt{5 m^{2}}} = \frac{4}{3 \sqrt{5}}$

+ Với $n \neq 0 : \cos ((P), (α)) = \frac{4 |\frac{m}{n} - 1|}{\sqrt[3]{5 {(\frac{m}{n})}^{2} - 2 \frac{m}{n} + 2}} .$

Đặt $t = \frac{m}{n}, \cos ((P), (α)) = \frac{4 |t - 1|}{3 \sqrt{5 t^{2} - 2 t + 2}} = \frac{4}{3} \sqrt{\frac{t^{2} - 2 t + 1}{5 t^{2} - 2 t + 2}}$

Xét $f (t) = \frac{t^{2} - 2 t + 1}{5 t^{2} - 2 t + 2}$

$f^{'} (t) = \frac{8 t^{2} - 6 t - 2}{{(5 t^{2} - 2 t + 2)}^{2}}; f^{'} (t) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 1 \\ t = - \frac{1}{4} \end{array}$

(P) là mặt phẳng tạo với $(α)$ một góc nhỏ nhất nên $\cos ((P), (α)) = \frac{4}{3} \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{4 \sqrt{5}}{9}$

Khi đó $t = - \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{m}{n} = - \frac{1}{4} .$

Chọn $m = 1; n = - 4$ ta được phương trình mặt phẳng $(P) : 2 x - 5 y + 4 z + 3 = 0.$

Khi đó $a = 2; b = - 5; c = 4; d = 3 \Rightarrow a b c d = - 120.$

...Xem thêm

Answer 2