Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Đáp án D

Ta có:

$f (x) + 2 f (\frac{1}{x}) = 3 x$ , chia cả 2 vế cho x ta được $\frac{f (x)}{x} + 2 \frac{f (\frac{1}{x})}{x} = 3$

Lấy tích phân 2 vế

$\int_{\frac{1}{2}}^{2} [\frac{f (x)}{x} + 2 \frac{f (\frac{1}{x})}{x}] d x = \int_{\frac{1}{2}}^{2} 3 d x$

$\Leftrightarrow \int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{f (x)}{x} d x + 2 \int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{f (\frac{1}{x})}{x} d x = 3 x |\begin{array}{l} 2 \\ \frac{1}{2} \end{array} = \frac{9}{2}$

Xét $\int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{f (\frac{1}{x})}{x} d x$ : Đặt $\frac{1}{x} = t \Rightarrow - \frac{1}{x^{2}} d x = d t \Rightarrow d x = - \frac{d t}{t^{2}} .$ Đổi cận $\{\begin{cases} x = \frac{1}{2} \Rightarrow t = 2 \\ x = 2 \Rightarrow t = \frac{1}{2} \end{cases} .$

Khi đó $\int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{f (\frac{1}{x})}{x} d x = - \int_{2}^{\frac{1}{2}} \frac{t . f (t)}{t^{2}} d t \Rightarrow \int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{f (\frac{1}{x})}{x} d x = \int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{f (t)}{t} d t = \int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{f (x)}{x} d x .$

Thay vào tích phân ban đầu ta được $3 \int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{f (x)}{x} d x = \frac{9}{2} \Rightarrow \int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{f (x)}{x} d x = \frac{3}{2} .$

...Xem thêm

Answer 2