Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Đáp án B

Điều kiện: $\{\begin{cases} x + 2 > 0 \\ \frac{2 x + 1}{x} > 0 \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} - 2 < x < - \frac{1}{2} \\ x > 0 \end{array} (*)$

Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình: $\log_{2} \sqrt{x + 2} + x + 2 - 2 \sqrt{x + 2} < \log_{2} (2 + \frac{1}{x}) + {(2 + \frac{1}{x})}^{2} - 2 (2 + \frac{1}{x}) (1)$

+) Xét hàm số $f (t) = \log_{2} t + t^{2} - 2 t$ trên $(0; + \infty)$

Ta có $f^{'} (t) = \frac{1}{t \ln 2} + 2 t - 2 > \frac{1}{t} + 2 t - 2 = t + \frac{{(t - 1)}^{2}}{t} > 0, \forall t > 0.$

Do đó f(t) đồng biến trên

Suy ra $(1) \Leftrightarrow f (\sqrt{x + 2}) < f (2 + \frac{1}{x}) \Leftrightarrow \sqrt{x + 2} < 2 + \frac{1}{x} (2)$

+) Vì (*) nên (2) $\Leftrightarrow x + 2 < {(2 + \frac{1}{x})}^{2} \Leftrightarrow x + 2 < 4 + \frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}}$

$\Leftrightarrow x^{3} - 2 x^{2} - 4 x - 1 < 0 \Leftrightarrow x \in (- \infty; - 1) \cup (\frac{3 - \sqrt{13}}{2}; \frac{3 + \sqrt{13}}{2})$

Kết hợp điều kiện (*) ta được $S = (- 2; - 1) \cup (0; \frac{3 + \sqrt{13}}{2}) .$

...Xem thêm

Answer 2