Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Đáp án D

Cách 1:

Mặt cầu (S) có tâm I(5;-3;7) và bán kính $R = 6 \sqrt{2}$ .

$\vec{I A} = (- 5; 11; - 5) \Rightarrow I A = \sqrt{171} > 6 \sqrt{2}$ nên điểm A nằm ngoài mặt cầu.

$\vec{I B} = (4; - 4; 16) \Rightarrow I B = 12 \sqrt{2} > 6 \sqrt{2}$ nên điểm B nằm ngoài mặt cầu.

$\Rightarrow A, I, B$ không thẳng hàng.

Mặt phẳng (P) qua A và tiếp xúc với (S) nên khi (P) thay đổi thì tập hợp các đường thẳng qua A và tiếp điểm tạo thành hình nón.

Gọi $(A B, (P)) = α \Rightarrow d (B, (P)) = A B . \sin α$ đạt giá trị lớn nhất A,B,I,H đồng phẳng $\Leftrightarrow (A I B) ⊥ (P)$ ( H là hình chiếu của B lên (P)).

Mặt phẳng (P) qua A và nhận $\vec{n} = (1; m; n)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình $x + m y - n z - 8 m - 2 n = 0$ .

Mặt phẳng (P) tiếp xúc với $(S) \Leftrightarrow d (I, (P)) = R$ .

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{|5 n - 11 m + 5|}{\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}} = 6 \sqrt{2} \Leftrightarrow {(5 n - 11 m + 5)}^{2} = 72 (1 + m^{2} + n^{2}) \\ \Leftrightarrow 49 m^{2} - 47 n^{2} - 110 m n + 50 n - 110 m - 47 = 0 (1) \end{array}$

Ta có: $[\vec{I A}, \vec{I B}] = (156; 70; - 24)$ .

Gọi $\vec{n_{1}}$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (AIB), chọn $\vec{n_{1}} = (13; 5; - 2)$ .

Do $(A I B) ⊥ (P) \Leftrightarrow \vec{n_{1}} . \vec{n} = 0 \Leftrightarrow 13 + 5 m - 2 n = 0 (2)$ .

Thế (2) vào (1) ta được phương trình:

$2079 m^{2} + 8910 m + 6831 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = - 1 \\ m = - \frac{6831}{2079} (l) \end{array}$

Thay m=-1 vào (2) suy ra: n=4.

Vậy m.n=-4.

Cách 2:

Mặt cầu (S) có tâm I(5;-3;7) và bán kính $R = 6 \sqrt{2}$ .

Mặt phẳng (P) qua A và nhận $\vec{n} = (1; m; n)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình $x + m y + n z - 8 m - 2 n = 0$ .

Mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S):

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow d (I, (P)) = R \Leftrightarrow \frac{|5 n - 11 m + 5|}{\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}} = 6 \sqrt{2} \\ \Leftrightarrow d (B, (P)) = \frac{|21 n - 15 m + 9|}{\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}} = \frac{|5 n - 11 m + 5 - 4 m + 16 n + 4|}{\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}} \\ \leq \frac{|5 n - 11 m + 5| + 4 |4 n - m + 1|}{\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}} \leq 6 \sqrt{2} + 4 \frac{\sqrt{(4^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}) (n^{2} + m^{2} + 1)}}{\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}} = 18 \sqrt{2} \end{array}$

Dấu bằng xảy ra khi $\frac{n}{4} = \frac{m}{- 1} = \frac{1}{1} \Leftrightarrow m = - 1; n = 4$ .

Vậy m.n=-4.

...Xem thêm

Answer 2

Đáp án D

Cách 1:

Mặt cầu (S) có tâm I(5;-3;7) và bán kính $R = 6 \sqrt{2}$ .

$\vec{I A} = (- 5; 11; - 5) \Rightarrow I A = \sqrt{171} > 6 \sqrt{2}$ nên điểm A nằm ngoài mặt cầu.

$\vec{I B} = (4; - 4; 16) \Rightarrow I B = 12 \sqrt{2} > 6 \sqrt{2}$ nên điểm B nằm ngoài mặt cầu.

$\Rightarrow A, I, B$ không thẳng hàng.

Mặt phẳng (P) qua A và tiếp xúc với (S) nên khi (P) thay đổi thì tập hợp các đường thẳng qua A và tiếp điểm tạo thành hình nón.

Gọi $(A B, (P)) = α \Rightarrow d (B, (P)) = A B . \sin α$ đạt giá trị lớn nhất A,B,I,H đồng phẳng $\Leftrightarrow (A I B) ⊥ (P)$ ( H là hình chiếu của B lên (P)).

Mặt phẳng (P) qua A và nhận $\vec{n} = (1; m; n)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình $x + m y - n z - 8 m - 2 n = 0$ .

Mặt phẳng (P) tiếp xúc với $(S) \Leftrightarrow d (I, (P)) = R$ .

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{|5 n - 11 m + 5|}{\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}} = 6 \sqrt{2} \Leftrightarrow {(5 n - 11 m + 5)}^{2} = 72 (1 + m^{2} + n^{2}) \\ \Leftrightarrow 49 m^{2} - 47 n^{2} - 110 m n + 50 n - 110 m - 47 = 0 (1) \end{array}$

Ta có: $[\vec{I A}, \vec{I B}] = (156; 70; - 24)$ .

Gọi $\vec{n_{1}}$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (AIB), chọn $\vec{n_{1}} = (13; 5; - 2)$ .

Do $(A I B) ⊥ (P) \Leftrightarrow \vec{n_{1}} . \vec{n} = 0 \Leftrightarrow 13 + 5 m - 2 n = 0 (2)$ .

Thế (2) vào (1) ta được phương trình:

$2079 m^{2} + 8910 m + 6831 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = - 1 \\ m = - \frac{6831}{2079} (l) \end{array}$

Thay m=-1 vào (2) suy ra: n=4.

Vậy m.n=-4.

Cách 2:

Mặt cầu (S) có tâm I(5;-3;7) và bán kính $R = 6 \sqrt{2}$ .

Mặt phẳng (P) qua A và nhận $\vec{n} = (1; m; n)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình $x + m y + n z - 8 m - 2 n = 0$ .

Mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S):

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow d (I, (P)) = R \Leftrightarrow \frac{|5 n - 11 m + 5|}{\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}} = 6 \sqrt{2} \\ \Leftrightarrow d (B, (P)) = \frac{|21 n - 15 m + 9|}{\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}} = \frac{|5 n - 11 m + 5 - 4 m + 16 n + 4|}{\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}} \\ \leq \frac{|5 n - 11 m + 5| + 4 |4 n - m + 1|}{\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}} \leq 6 \sqrt{2} + 4 \frac{\sqrt{(4^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}) (n^{2} + m^{2} + 1)}}{\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}} = 18 \sqrt{2} \end{array}$

Dấu bằng xảy ra khi $\frac{n}{4} = \frac{m}{- 1} = \frac{1}{1} \Leftrightarrow m = - 1; n = 4$ .

Vậy m.n=-4.

1 câu trả lời 169

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 12