Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Đáp án A

Gọi $A (a; a^{2}), B (b; b^{2})$ với a<b. Ta có $A B = 2 \Leftrightarrow {(b - a)}^{2} + {(b^{2} - a^{2})}^{2} = 4$ .

$\begin{array}{l} A B : \frac{x - a}{b - a} = \frac{y - a^{2}}{b^{2} - a^{2}} \Leftrightarrow \frac{x - a}{1} = \frac{y - a^{2}}{b + a} \Leftrightarrow y = (a + b) (x - a) + a^{2} \Leftrightarrow y = (a + b) x - a b \\ S = \int_{a}^{b} ((a + b) x - a b - x^{2}) d x = \int_{a}^{b} (x - a) (b - x) d x \end{array}$

Đặt t=x-a.

Suy ra $S = \int_{0}^{b - a} t (b - a - t) d t = \int_{0}^{b - a} ((b - a) t - t^{2}) d t = \frac{(b - a) t^{2}}{2} |_{0}^{b - a} - \frac{t^{3}}{3} |_{0}^{b - a} = \frac{{(b - a)}^{3}}{6}$

Ta có: ${(b - a)}^{2} + {(b^{2} - a^{2})}^{2} = 4 \Leftrightarrow {(b - a)}^{2} (1 + {(b + a)}^{2}) = 4 \Leftrightarrow {(b - a)}^{2} = \frac{4}{1 + {(a + b)}^{2}} \leq 4$ .

Suy ra $b - a \leq 2 \Rightarrow S = \frac{{(b - a)}^{3}}{6} \leq \frac{2^{3}}{6} = \frac{4}{3}$ .

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\begin{array}{l} \{\begin{cases} a + b = 0 \\ b - a = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} b = 1 \\ a = - 1 \end{cases} \Leftrightarrow A (- 1; 1), B (1; 1) \end{array}$ .

...Xem thêm

Answer 2