Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Đáp án D

Có $1 < a, b, 0 < x \neq 1$

Có $a^{\log_{b} x} = b^{\log_{a} x^{2}} \Leftrightarrow a^{\log_{b} a . \log_{a} x} = b^{2 \log_{a} x} \Leftrightarrow a^{\log_{a} x . \log_{b} a} = b^{2 \log_{a} x}$

$\Leftrightarrow x^{\log_{b} a} = x^{2 \log_{a} b} \Leftrightarrow \log_{b} a = 2 \log_{a} b \Leftrightarrow \log_{b} a = 2 \frac{1}{\log_{b} a}$

$\Leftrightarrow {(\log_{b} a)}^{2} = 2 \Leftrightarrow \log_{b} a = \sqrt{2}$ (do 1<a,b nên $\log_{b} a > 0$ ) $\Leftrightarrow a = b^{\sqrt{2}}$ .

Có $P = \ln^{2} a + \ln^{2} b - \ln (a b) = {(\ln b^{\sqrt{2}})}^{2} + \ln^{2} b - \ln (b^{\sqrt{2}} b)$ .

$= 2 \ln^{2} b + \ln^{2} b - (\sqrt{2} + 1) \ln b = 3 \ln^{2} b - (\sqrt{2} + 1) \ln b .$

Đặt t=lnb, t>0 (do b>1).

Xét hàm số $y = f (t) = 3 t^{2} - (\sqrt{2} + 1) t$ , với t>0.

Có $f^{'} (t) = 6 t - (\sqrt{2} + 1)$ , $f^{'} (t) = 0 \Leftrightarrow 6 t - (\sqrt{2} + 1) = 0$

$\Leftrightarrow t = \frac{\sqrt{2} + 1}{6} > 0$

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên có $\min P = \min_{(0; + \infty)} f (t) = - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{12}$ khi $t = \frac{\sqrt{2} + 1}{6}$

Vậy $\min P = - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{12}$

...Xem thêm

Answer 2