a) Vì ΔABCΔABCcân tại A ( GT )

⇒ˆABC=ˆACB⇒ABC^=ACB^( Tính chất tam giác cân )

Xét ΔBMI(ˆBMI=90o)ΔBMI(BMI^=90o)và ΔCNI(ˆCNI=90o)ΔCNI(CNI^=90o)có :

          BI=CIBI=CI( vì I là trung điểm của BC )

         ˆABC=ˆACBABC^=ACB^( chứng minh trên )

⇒ΔBMI=ΔCNI⇒ΔBMI=ΔCNI( Cạnh huyền - góc nhọn )

b) VÌ ΔBMI=ΔCNIΔBMI=ΔCNI( chứng minh trên ) 

⇒BM=CN⇒BM=CN( 2 cạnh tương ứng )

 Ta có : \hept{AB=AM+MBAC=AN+NC\hept{AB=AM+MBAC=AN+NC

Mà AB = AC ( vì ΔABCΔABCcân tại A ) ; BM = CN ( chứng minh trên )

⇒AM=AN⇒AM=AN

⇒ΔAMN⇒ΔAMNcân tại A ( Điều phải chứng minh )

c) Vì ΔABCΔABCcân tại A nên :

ˆB1=180o−MˆAN2(1)B1^=180o−MAN^2(1)

Vì ΔAMNΔAMNcân tại A nên :

ˆM1=180o−ˆMAN2(2)M1^=180o−MAN^2(2)

Từ ( 1 ) và ( 2 )

⇒ˆB1=ˆM1⇒B1^=M1^

Mà ˆB1B1^và ˆM1M1^ở vị trí đồng vị

⇒MN//BC⇒MN//BC( Dấu hiệu nhận biết 2 đường thẳng song song )

d) Xét ΔABIΔABIvà ΔACIΔACIcó :

        AIAI: cạnh chung

        BI=CIBI=CI( vì I là trung điểm của BC )

        AB=ACAB=AC( vì ΔABCΔABCcân tại A )

⇒ΔABI=ΔACI(c−c−c)⇒ΔABI=ΔACI(c−c−c)

⇒ˆA1=ˆA2⇒A1^=A2^( 2 góc tương ứng ) 

     ˆBIA=ˆCIABIA^=CIA^( 2 góc tương ứng )

Vì ˆA1=ˆA2A1^=A2^( chứng minh trên )

=> AI là tia phân giác của ˆBACBAC^

Vì ˆBIA=ˆCIABIA^=CIA^( chứng minh trên )

Mà ˆBIA+ˆCIA=90oBIA^+CIA^=90o( 2 góc kề bù )

⇒AI⊥BC⇒AI⊥BC

e) Áp dụng định lí pi-ta-go vào ΔAINΔAINcó:

IN2+AN2=AI2IN2+AN2=AI2

⇒IN2=AI2−AN2(3)⇒IN2=AI2−AN2(3)

Áp dụng định lí pi-ta-go vào ΔINCΔINCcó:

IN2+NC2=IC2IN2+NC2=IC2

⇒IN2=IC2−NC2(4)⇒IN2=IC2−NC2(4)

Từ (3) và ( 4)

⇒2IN2=AI2−AN2+IC2−NC2⇒2IN2=AI2−AN2+IC2−NC2

⇒2IN2=(AI2+IC2)−AN2−NC2(5)⇒2IN2=(AI2+IC2)−AN2−NC2(5)

Theo chứng minh trên ta có : AI⊥BCAI⊥BC

⇒ΔAIC⇒ΔAICvuông tại I

Áp dụng định lí pi-ta-go vào ΔAICΔAICta có:

AC2=AI2+IC2(6)AC2=AI2+IC2(6)

Từ (5) và (6)

⇒2IN2=AC2−AN2−NC2⇒2IN2=AC2−AN2−NC2( Điều phải chứng minh )

a) Vì ΔABCΔABCcân tại A ( GT )

⇒ˆABC=ˆACB⇒ABC^=ACB^( Tính chất tam giác cân )

Xét ΔBMI(ˆBMI=90o)ΔBMI(BMI^=90o)và ΔCNI(ˆCNI=90o)ΔCNI(CNI^=90o)có :

          BI=CIBI=CI( vì I là trung điểm của BC )

         ˆABC=ˆACBABC^=ACB^( chứng minh trên )

⇒ΔBMI=ΔCNI⇒ΔBMI=ΔCNI( Cạnh huyền - góc nhọn )

b) VÌ ΔBMI=ΔCNIΔBMI=ΔCNI( chứng minh trên ) 

⇒BM=CN⇒BM=CN( 2 cạnh tương ứng )

 Ta có : \hept{AB=AM+MBAC=AN+NC\hept{AB=AM+MBAC=AN+NC

Mà AB = AC ( vì ΔABCΔABCcân tại A ) ; BM = CN ( chứng minh trên )

⇒AM=AN⇒AM=AN

⇒ΔAMN⇒ΔAMNcân tại A ( Điều phải chứng minh )

c) Vì ΔABCΔABCcân tại A nên :

ˆB1=180o−MˆAN2(1)B1^=180o−MAN^2(1)

Vì ΔAMNΔAMNcân tại A nên :

ˆM1=180o−ˆMAN2(2)M1^=180o−MAN^2(2)

Từ ( 1 ) và ( 2 )

⇒ˆB1=ˆM1⇒B1^=M1^

Mà ˆB1B1^và ˆM1M1^ở vị trí đồng vị

⇒MN//BC⇒MN//BC( Dấu hiệu nhận biết 2 đường thẳng song song )

d) Xét ΔABIΔABIvà ΔACIΔACIcó :

        AIAI: cạnh chung

        BI=CIBI=CI( vì I là trung điểm của BC )

        AB=ACAB=AC( vì ΔABCΔABCcân tại A )

⇒ΔABI=ΔACI(c−c−c)⇒ΔABI=ΔACI(c−c−c)

⇒ˆA1=ˆA2⇒A1^=A2^( 2 góc tương ứng ) 

     ˆBIA=ˆCIABIA^=CIA^( 2 góc tương ứng )

Vì ˆA1=ˆA2A1^=A2^( chứng minh trên )

=> AI là tia phân giác của ˆBACBAC^

Vì ˆBIA=ˆCIABIA^=CIA^( chứng minh trên )

Mà ˆBIA+ˆCIA=90oBIA^+CIA^=90o( 2 góc kề bù )

⇒AI⊥BC⇒AI⊥BC

e) Áp dụng định lí pi-ta-go vào ΔAINΔAINcó:

IN2+AN2=AI2IN2+AN2=AI2

⇒IN2=AI2−AN2(3)⇒IN2=AI2−AN2(3)

Áp dụng định lí pi-ta-go vào ΔINCΔINCcó:

IN2+NC2=IC2IN2+NC2=IC2

⇒IN2=IC2−NC2(4)⇒IN2=IC2−NC2(4)

Từ (3) và ( 4)

⇒2IN2=AI2−AN2+IC2−NC2⇒2IN2=AI2−AN2+IC2−NC2

⇒2IN2=(AI2+IC2)−AN2−NC2(5)⇒2IN2=(AI2+IC2)−AN2−NC2(5)

Theo chứng minh trên ta có : AI⊥BCAI⊥BC

⇒ΔAIC⇒ΔAICvuông tại I

Áp dụng định lí pi-ta-go vào ΔAICΔAICta có:

AC2=AI2+IC2(6)AC2=AI2+IC2(6)

Từ (5) và (6)

⇒2IN2=AC2−AN2−NC2⇒2IN2=AC2−AN2−NC2( Điều phải chứng minh )