Ta có tam giác OAM và tam giác BON cân tại O có góc ở đỉnh O=45độ                                                                    => OA=OM=a;OB=ON=b và góc MOA=góc NOB=45 độ                                                                                 =>Góc AOB=180-45-45=90 độ                                                                                                                                    ta có OM+ON=MN=4                                                                                                                                                 =>a+b=4                                                                                                                                                                       =>b=4-a                                                                                                                                                                      Xét tam giác AOB vuông tại O có:                                                                                                                              Áp dụng định lý Pytago:

AB^2=AO^2+BO^2=a^2+b^2 
=a^2+(4−a)^2                                                                                                                                                                =a^2+(16−8a+a^2)                                                                                                                               =a^2+a^2−8a+16                                                                                                                                         =2a^2−8a+16
=2(a^2−4a+4)+8                                                                                                                                              =2(a−2)^2+8

De:ABmin⇔AB2min⇔2(a−2)2+8min                                                                                                  Do:2(a−2)2≥0                                                                                                                                                                 =>2(a−2)2+8≥8∀a

Dấu = xảy ra<=> a-2=0<=>a=2                                                                                                                                Hay OM=2(cm) =>ON=4-2=2(cm)
=>O là trung điểm của MN                                                                                                                                    Vậy để ABmin=8 thì O là trung điêm của MN                                                                                                                         TỰ VẼ HÌNH