Bộ 30 đề thi Học kì 2 Toán lớp 9 có đáp án

Bộ 30 đề thi Học kì 2 Toán lớp 9 có đáp án giúp học sinh ôn luyện để đạt điểm cao trong bài thi Toán 9 Học kì 2. Mời các bạn cùng đón xem:

805

Tải tài liệu

« Trang trước

Trang sau »

[Năm 2023] Đề thi Học kì 2 Toán lớp 9 có đáp án

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Đề khảo sát chất lượng Học kì 2

Năm học 2022 - 2023

Môn: Toán 9

Thời gian làm bài: 90 phút

Đề thi Học kì 2 Toán lớp 9 có đáp án - (Đề số 1)

Phần trắc nghiệm (2 điểm)

Câu 1: Phương trình nào sau đây là phương trình bậc nhất hai ẩn:

A. 2x² - 3x + 1 = 0

B.-2x = 4

C. 2x + 3y = 7

D. 1/x + y = 3

Câu 2: Hệ phương trình Đề kiểm tra Toán 9 | Đề thi Toán 9 có nghiệm là:

A. (-3; -1)

B. (3; 1)

C. (3; -1)

D. (1; -3)

Câu 3: Cho AB là dây cung của đường tròn (O; 4 cm), biết AB = 4 cm, số đo của cung nhỏ AB là:

A. 60^o

B. 120^o

C. 30^o

D. 90^o

Câu 4: Bán kính hình tròn nội tiếp hình vuông cạnh 2 cm là:

A.2 cm

B.√2 cm

C.1 cm

D.4 cm

Phần tự luận (8 điểm)

Bài 1 (1, 5 điểm) giải phương trình và hệ phương trình sau:

a) x² - 7x + 5 = 0

Đề kiểm tra Toán 9 | Đề thi Toán 9

Bài 2 (1, 5 điểm) Cho hai hàm số : y = x² (P) và y = - x + 2 (d)

a) Vẽ 2 đồ thì hàm số trên cùng 1 hệ trục tọa độ

b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d)

c) Viết phương trình đường thẳng d' song song với d và cắt (P) tại điểm có hoành độ -1.

Bài 3 (1, 5 điểm) Cho phương trình x² + (m – 2)x – m + 1 =0

a) Tìm m để phương trình có 1 nghiệm x = 2. Tìm nghiệm còn lại

b) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x₁² + x₂² -6x₁ x₂

Bài 4 (3,5 điểm) Cho (O;OA), dây BC vuông góc với OA tại K. Kẻ tiếp tuyến của (O) tại B và A, hai tiếp tuyến này cắt nhau tại H

a) Chứng minh tứ giác OBHA nội tiếp được đường tròn

b) Lấy trên O điểm M (M khác phía với A so với dây BC, dây BM lớn hơn dây MC). Tia MA và BH cắt nhau tại N. chứng minh ∠(NMC) = ∠(BAH)

c) Tia MC và BA cắt nhau tại D. Chứng minh tứ giác MBND nội tiếp được đường tròn.

d) Chứng minh OA ⊥ ND

Đáp án đề thi Học kì 2 môn Toán 9 - Đề số 1

Phần trắc nghiệm (2 điểm)

1.C

2.C

3.A

4.B

Câu 4: Chọn đáp án C

Đề kiểm tra Toán 9 | Đề thi Toán 9

Kẻ OH ⊥ AB. Do ABCD là hình vuông nên ∠OAH = 45^o

Tam giác ABC vuông tại B có: AC² = AB² + BC² = 2² + 2² = 8

Nên AC = 2√2cm

Vì O là trung điểm AC nên Đề kiểm tra Toán 9 | Đề thi Toán 9

Xét tam giác OAH vuông tại H có: Đề kiểm tra Toán 9 | Đề thi Toán 9

Vậy bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông cạnh 2cm là 1cm

Phần tự luận (8 điểm)

Bài 1

a) x² - 7x + 5 = 0

Δ = 7² - 4.1.5 = 49 - 20 = 29 > 0

⇒ Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt

Đề kiểm tra Toán 9 | Đề thi Toán 9

Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm

Đề kiểm tra Toán 9 | Đề thi Toán 9

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) = (0; 3)

Bài 2

a) Xét hàm số: y = x² (P)

Tập xác định R

Bảng giá trị

x	- 2	- 1	0	1	2
y = x²	4	1	0	1	2

Đồ thị hàm số y = x² là đường parabol nằm phía trên trục hoành, nhận trục Oy làm trục đối xứng và điểm O(0;0) là đỉnh và là điểm thấp nhất.

Xét hàm số: y = - x + 2 (d)

Tập xác định R

Bảng giá trị

x	0	2
y = - x + 2	2	0

Đề kiểm tra Toán 9 | Đề thi Toán 9

b) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

x² = -x + 2 ⇔ x² + x - 2 = 0

⇒ Phương trình có nghiệm 1 và -2 ( phương trình dạng a + b + c = 0)

Với x = 1 ⇒ y = x² = 1

Với x = - 2 ⇒ y = x² = 4

Vậy tọa độ giao điểm của (P) và (d) là (1; 1) và (-2; 4)

c) Do d' // d nên phương trình của d' có dạng: y = -x + b (b ≠ 2)

Gọi A là giao điểm của d' và (P). A có hoành độ -1 ⇒ tung độ của A là 1

Do A (-1; 1) nên tọa độ của A thỏa mãn phương trình đường thẳng d'

⇒ 1 = -(-1) + b ⇒ b = 0

⇒ Phương trình đường thẳng d' là y = -x.

Bài 3 x² + (m – 2)x – m + 1 = 0

a) phương trình có 1 nghiệm x = 2 nên :

2² + (m-2).2 - m + 1 = 0

⇔ m = -1

Với m = -1, phương trình trở thành: x² – 3x + 2 = 0

Theo hệ thức Vi-et ta có: x₁ + x₂ = 3

Giả sử x₁ = 2 ⇒ x₂ = 1

Vậy với m = - 1 thì phương trình có 1 nghiệm là 2 và nghiệm còn lại là 1.

b) Δ = (m - 2)² -4.(-m + 1) = m² - 4m + 4 + 4m - 4 = m² ≥ 0 ∀ m

⇒ Phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m

c) Theo hệ thức Vi- et ta có:

Đề kiểm tra Toán 9 | Đề thi Toán 9

A = x₁² + x₂² -6x₁ x₂ = (x₁ + x₂ )² - 8x₁ x₂

= (2 - m)² - 8(-m + 1) = m² - 4m + 4 + 8m - 8

= m² + 4m - 4 = (m + 2)² - 8

Ta có: (m + 2)² ≥ 0 ∀ m

⇒ (m + 2)² - 8 ≥ -8 ∀ m ⇔ A ≥ -8 ∀ m

Dấu bằng xảy ra khi (m + 2)² = 0 ⇔ m= -2

Vậy GTNN của A là -8, đạt được khi m = -2

Bài 4

Đề kiểm tra Toán 9 | Đề thi Toán 9

a) Xét tứ giác OBHA có:

∠(OBH) = 90^o ( BH là tiếp tuyến của (O)

∠(OAH) = 90^o (AH là tiếp tuyến của (O)

⇒ ∠(OBH) + ∠(OAH) = 180^o

⇒ Tứ giác OBHA là tứ giác nội tiếp

b) Ta có: Một phần đường kính OA vuông góc dây BC

⇒ AB = AC ⇒ sđ cung AB = sđ cung AC

⇒ ∠(BAH) = ∠(ABC) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung chắn 2 cung bằng nhau)

Tứ giác ABMC nội tiếp (O)

⇒ ∠(NMC) = ∠(ABC) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Do đó: ∠(NMC) = ∠(BAH)

c) 2 tiếp tuyến HA và HB cắt nhau tại H

⇒ ΔHAB cân tại H ⇒ ∠(BAH) = ∠(HBA)

Theo ý b) ∠(NMC) = ∠(BAH)

⇒ ∠(NMC) = ∠(HBA)

Xét tứ giác MBND có: ∠(NMC) = ∠(HBA)

⇒ 2 đỉnh M và B cùng nhìn cạnh ND dưới 1 góc bằng nhau

⇒ MBND là tứ giác nội tiếp.

d) Xét tứ giác MBND nội tiếp có:

∠(BDN) = ∠(BMN) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BN)

Xét tứ giác ABMC nội tiếp (O) có:

∠(ABC) = ∠(BMN) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung bằng nhau )

⇒ ∠(BDN) = ∠(ABC)

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong

⇒ ND // BC

Mà BC ⊥ OA ⇒ ND ⊥ OA

__________________________________________________________________________

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Đề khảo sát chất lượng Học kì 2

Năm học 2022 - 2023

Môn: Toán 9

Thời gian làm bài: 90 phút

Đề thi Học kì 2 Toán lớp 9 có đáp án - (Đề số 2)

Câu 1: Cho hàm số y = -3x². Kết luận nào sau đây là đúng :

A. Hàm số trên luôn đồng biến

B. Hàm số trên luôn nghịch biến

C. Hàm số trên đồng biến khi x > 0, nghịch biến khi x < 0

D. Hàm số trên đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0

Câu 2: Cho phương trình bậc hai x² – 2(m + 1) x + 4m = 0. Phương trình có nghiệm kép khi m bằng:

A. 1

B. Với mọi m

C. –1

D. Một kết quả khác

Câu 3: Cung AB của đường tròn (O; R) có số đo là 60^o. Khi đó diện tích hình quạt AOB là:

Đề kiểm tra Toán 9 | Đề thi Toán 9

Câu 4: Tứ giác MNPQ nội tiếp đường tròn khi:

A.∠(MNP) + ∠(NPQ) = 180^o

B.∠(MNP) = ∠(MPQ)

C. MNPQ là hình thang cân

D. MNPQ là hình thoi

Phần tự luận (8 điểm)

Bài 1 (2,0 điểm)

1) Tìm điều kiện xác định của biểu thức Đề kiểm tra Toán 9 | Đề thi Toán 9

2) Cho biểu thức Đề kiểm tra Toán 9 | Đề thi Toán 9 với x > 0; x ≠ 1

a) Rút gọn biểu thức B

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P = A.B với x > 1

Bài 2 (1,5 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Một tấm bìa hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 3dm. Nếu giảm chiều rộng đi 1dm và tăng chiều dài thêm 1dm thì diện tích tấm bìa là 66 Tính chiều rộng và chiều dài của tấm bìa lúc ban đầu.

Bài 3 (2,0 điểm)

1) Cho phương trình x⁴ + mx² - m - 1 = 0(m là tham số)

a) Giải phương trình khi m = 2

b) Tìm giá trị của m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.

2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = 2x + m (m là tham số).

a) Xác định m để đường thẳng (d) tiếp xúc với parabol (P). Tìm hoành độ tiếp điểm.

b) Tìm giá trị của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm A, B nằm về hai phía của trục tung, sao cho diện tích có diện tích gấp hai lần diện tích (M là giao điểm của đường thẳng d với trục tung).

Bài 4 (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R), dây AB. Trên cung lớn AB lấy điểm C sao cho A < CB. Các đường cao AE và BF của tam giác ABC cắt nhau tại I.

a) Chứng minh tứ giác AFEB là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh CF.CB = CE.CA

c) Nếu dây AB có độ dài bằng R√3 , hãy tính số đo của (ACB)

d) Đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF cắt đường tròn (O; R) tại điểm thứ hai là K (K khác C). Vẽ đường kính CD của (O; R). Gọi P là trung điểm của AB. Chứng minh rằng ba điểm K, P, D thẳng hàng.

Đáp án đề thi Học kì 2 môn Toán 9 - Đề số 2

Phần trắc nghiệm (2 điểm)

1.D

2.A

3.B

4.C

Phần tự luận (8 điểm)

Bài 1

Đề kiểm tra Toán 9 | Đề thi Toán 9

Biểu thức A xác định khi √x - 1 ≠ 0 ⇔ √x ≠ 1 ⇔ x ≠ 1

Đề kiểm tra Toán 9 | Đề thi Toán 9

Vậy GTNN của P là 2√3 + 3 đạt được khi x = 4 + 2√3

Bài 2

Gọi chiều dài của tấm bìa là x (x > 3) (dm)

⇒ Chiều rộng của tấm bìa là x – 3 (dm)

Nếu tăng chiều dài 1 dm và giảm chiều rộng 1 dm thì diện tích là 66 dm² nên ta có phương trình:

(x + 1)(x – 3 – 1) = 66

⇔ (x + 1)(x – 4 ) = 66

⇔ x² – 3x – 4 – 66 = 0

⇔ x² – 3x – 70 = 0

Δ = 3² - 4.(-70) = 289 ⇒ √Δ = 17

⇒ Phương trình đã cho có 2 nghiệm

Đề kiểm tra Toán 9 | Đề thi Toán 9

Do x > 3 nên x =10

Vậy chiều dài của tấm bìa là 10 dm

Chiều rộng của tấm bìa là 7 dm.

Bài 3

1) x⁴ + mx² - m - 1 = 0

a) Khi m = 2, phương trình trở thành: x⁴ + 2x² – 3 = 0

Đặt x² = t (t ≥ 0). Khi đó ta có phương trình: t² + 2t - 3 = 0

⇒ Phương trình có nghiệm t = 1 và t = -3 (do phương trình có dạng a + b + c = 0)

Do t ≥ 0 nên t = 1 ⇒ x² = 1 ⇒ x = ±1

b) Đặt x² = t (t ≥ 0). Khi đó ta có phương trình: t² – mt – m – 1 = 0 (*)

Δ = m² - 4(-m - 1) = m² + 4m + 4 = (m + 2)²

Phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm dương phân biệt

Đề kiểm tra Toán 9 | Đề thi Toán 9

2) parabol (P): y = x² ; đường thẳng (d): y = 2x + m (m là tham số).

a) phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

x² = 2x + m ⇔ x² - 2x - m = 0

Δ'= 1 + m

(d) tiếp xúc với (P) khi phương trình hoành độ giao điểm có duy nhất 1 nghiệm

⇔ Δ'= 1 + m = 0 ⇔ m = -1

Khi đó hoành độ giao điểm là x = 1

b) (d) cắt (P) tại 2 điểm A, B phân biệt nằm về 2 phía của trục tung khi và chỉ khi

Đề kiểm tra Toán 9 | Đề thi Toán 9

Khi đó 2 nghiệm của phương trình là:

Đề kiểm tra Toán 9 | Đề thi Toán 9

Kẻ BB' ⊥ OM ; AA' ⊥ OM

Đề kiểm tra Toán 9 | Đề thi Toán 9

Ta có:

S_AOM = 1/2 AA'.OM ; S_BOM = 1/2 BB'.OM

Theo bài ra:

Đề kiểm tra Toán 9 | Đề thi Toán 9

Do m > 0 nên m = 8

Vậy với m = 8 thì thỏa mãn điều kiện đề bài.

Bài 4

Đề kiểm tra Toán 9 | Đề thi Toán 9

a) Xét tứ giác AEFB có:

∠(AFB) = 90^o ( AF là đường cao)

∠(AEB) = 90^o ( BE là đường cao)

⇒ 2 đỉnh E và F cùng nhìn cạnh AB dưới 1 góc bằng nhau

⇒ AEFB là tứ giác nội tiếp.

b) Xét ΔBEC và ΔAFC có:

∠(BCA) là góc chung

∠(BEC) = ∠(AFC) = 90 ^o

⇒ ΔBEC ∼ ΔAFC

Đề kiểm tra Toán 9 | Đề thi Toán 9

c) Gọi P là trung điểm của AB

Do tam giác OAB cân tại O nên OP ⊥ AB

Tam giác OAP vuông tại P có:

Đề kiểm tra Toán 9 | Đề thi Toán 9

⇒ Tứ giác CEIF là tứ giác nội tiếp và CI là đường kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEIF

Ta có: IK ⊥ KC ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEIF)

DK ⊥ KC (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)

⇒ D; I; K thẳng hàng (1)

Ta có:

DB ⊥ BC (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)

AI ⊥ BC ( AI là đường cao của tam giác ABC)

⇒ AI // BD

DA ⊥ BA(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)

BI ⊥ BA ( BI là đường cao của tam giác ABC)

⇒ AD // BI

Xét tứ giác ADBI có: AI // BD và AD // BI

⇒ ADBI là hình bình hành

Do P là trung điểm của AB ⇒ P là trung điểm của DI

Hay D; P; I thẳng hàng (2)

Từ (1) và (2) ⇒ D; P; K thẳng hàng.

__________________________________________________________________________

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Đề khảo sát chất lượng Học kì 2

Năm học 2022 - 2023

Môn: Toán 9

Thời gian làm bài: 90 phút

Đề thi Học kì 2 Toán lớp 9 có đáp án - (Đề số 3)

Bài 1: (1,5 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

a) 3x² – 7x + 2 = 0

b) x⁴ – 5x + 4 = 0

Đề kiểm tra Toán 9 | Đề thi Toán 9

Bài 2: (1,5 điểm)

a) Vẽ đồ thị (P) hàm số y= x²/4

b) Trên (P) lấy 2 điểm A và B có hoành độ lần lượt là 4 và 2. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và B

Bài 3: (1,5 điểm) Cho phương trình (ẩn x) : x² – 2mx – 4m – 4 = 0(1)

a) Chứng tỏ phương trình (1) có nghiệm với mọi Giá trị của m.

b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn x₁² + x₂² - x₁x₂ = 13

Bài 4: (1 điểm) Tìm kích thước của hình chữ nhật, biết chiều dài hơn chiều rộng 3m. Nếu tăng thêm mỗi chiều thêm 2 mét thì diện tích của hình chữ nhật tăng thêm 70m2.

Bài 5: (3,5 điểm) Cho đường tròn (O;R) và một điểm A ngoài đường tròn (O) sao cho OA = 3R. Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với (O) (B, C là các tiếp điểm).

a) Chứng minh tứ giác OBAC nội tiếp và OA vuông góc với BC

b) Từ B vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường tròn tâm (O) tại D (D khác B), AD cắt đường tròn (O) tại E (E khác D). Tính tích AD.AE theo R.

c) Tia BE cắt AC tại F. Chứng minh F là trung điểm AC.

d) Tính theo R diện tích tam giác BDC.

Đáp án đề thi Học kì 2 môn Toán 9 - Đề số 3

Bài 1:

a) 3x² – 7x + 2 = 0

Δ= 7² -4.3.2 = 49 - 24 = 25 > 0 ⇒ √Δ = 5

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

Đề kiểm tra Toán 9 | Đề thi Toán 9

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {2; 1/3}

b) x⁴ - 5x² + 4 = 0

Đặt t = x² ≥ 0 , ta có phương trình:

t² - 5t + 4 = 0 (dạng a + b + c = 1 -5 + 4 = 0)

t₁ = 1 (nhận) ; t₂ = 4 (nhận)

với t = 1 ⇔ x² = 1 ⇔ x = ± 1

với t = 4 ⇔ x² = 4 ⇔ x = ± 2

Vậy nghiệm của phương trình x = ±1; x = ± 2

Đề kiểm tra Toán 9 | Đề thi Toán 9

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = ( √5; -1)

Bài 2:

a) Tập xác định của hàm số: R

Bảng giá trị:

x	-4	-2	0	2	4
y = x² / 4	4	1	0	1	4

Đồ thị hàm số y = x² / 4 là một đường parabol nằm phía trên trục hoành, nhận trục Oy làm trục đối xứng và điểm O(0;0) là đỉnh và là điểm thấp nhất.

Đề kiểm tra Toán 9 | Đề thi Toán 9

b) Với x = 4, ta có: y = x²/4 = 4 ⇒ A (4; 4)

Với x = 2, ta có y = x²/4 = 1 ⇒ B ( 2; 1)

Giả sử đường thẳng đi qua 2 điểm A, B là y = ax + b

Đường thẳng đi qua A (4; 4) nên 4 = 4a + b

Đường thẳng đi qua B (2; 1) nên : 1= 2a + b

Ta có hệ phương trình

Đề kiểm tra Toán 9 | Đề thi Toán 9

Vậy phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A, B là y = 3/2 x - 2

Bài 3:

a) Δ' = m² - (-4m - 4) = m² + 4m + 4 = (m + 2)² ≥ 0 ∀m

Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m

b) Gọi x₁ ; x₂ lần lượt là 2 nghiệm của phương trình đã cho

Theo hệ thức Vi-et ta có:

Đề kiểm tra Toán 9 | Đề thi Toán 9

x₁² + x₂² -x₁ x₂ = (x₁ + x₂ )² - 3x₁ x₂ = 4m² + 3(4m + 4)

Theo bài ra: x₁² + x₂² - x₁ x₂=13

⇒ 4m² + 3(4m + 4) = 13 ⇔ 4m² + 12m - 1 = 0

Δ_m = 12² -4.4.(-1) = 160 ⇒ √(Δ_m ) = 4√10

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Đề kiểm tra Toán 9 | Đề thi Toán 9

Vậy với Đề kiểm tra Toán 9 | Đề thi Toán 9 thì phương trình có 2 nghiệm x₁; x₂ thỏa mãn điều kiện x₁² + x₂² - x₁ x₂ = 13

Bài 4:

Gọi chiều rộng của hình chữ nhật là x (m) ( x > 0 )

⇒ Chiều dài của hình chữ nhật là x + 3 (m)

Khi đó diện tích của hình chữ nhật là x(x + 3) (m² )

Nếu tăng thêm mỗi chiều thêm 2 mét thì diện tích của hình chữ nhật tăng thêm 70m² nên ta có phương trình:

(x + 2)(x + 3 + 2) = x(x + 3) + 70

⇔ (x + 2)(x + 5) = x(x + 3) + 70

⇔ x² + 7x + 10 = x² + 3x + 70

⇔ 4x = 60

⇔ x = 15

Vậy chiều rộng của hình chữ nhật là 15m

Chiều dài của hình chữ nhật là 18m

Bài 5:

Đề kiểm tra Toán 9 | Đề thi Toán 9

__________________________________________________________________________

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Đề khảo sát chất lượng Học kì 2

Năm học 2022 - 2023

Môn: Toán 9

Thời gian làm bài: 90 phút

Đề thi Học kì 2 Toán lớp 9 có đáp án - (Đề số 4)

Bài 1: (1,5 điểm) Giải phương trình và hệ phương trình

a) 2x² - 3x + 1 = 0

b) x³ - 3x² + 2 = 0

Đề kiểm tra Toán 9 | Đề thi Toán 9

Bài 2: (1,5 điểm)

a) Vẽ đồ thị (P) hàm số y = x²

b) Tìm m để đường thẳng (d) : y = 2x + m tiếp xúc với (P).

Bài 3: (1,5 điểm) Cho phương trình (ấn số x): x² – 4x + m – 2 = 0 (1)

a) Giá trị nào của m thì phương trình (1) có nghiệm

b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn 3x₁ – x₂ = 8

Bài 4: (1 điểm) Một ô tô đi từ A đến B với một vận tốc xác định. Nếu vận tốc tăng thêm 30 km/h thì thời gian đi sẽ giảm 1 giờ. Nếu vận tốc giảm bớt 15 km/h thì thời gian đi tăng thêm 1 giờ. Tính vận tốc và thời gian đi từ A đến B của ô tô.

Bài 5: (3,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC). Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB và AC lần lượt tại E và D. Gọi H là giao điểm của BD và CE; AH cắt BC tại I.

a) Chứng minh AI vuông góc với BC và EC là phân giác của góc IED.

b) Chứng minh BE.BA = BI.BC

c) Chứng minh tứ giác OIED nội tiếp.

d) Cho biết BC = 16cm. Tính BE.BA + CD.CA

Đáp án đề thi Học kì 2 môn Toán 9 - Đề số 4

Bài 1:

a) 2x² - 3x + 1 = 0

a = 2; b = - 3; c = 1 ⇒ a + b + c = 0

Do đó phương trình có nghiệm x₁ = 1; x₂ = 1/2

b) x³ - 3x² + 2 = 0

⇔ x³ - x² - 2x² + 2 = 0

⇔ x²(x - 1) - 2(x² - 1) = 0

⇔ x²(x - 1) - 2(x + 1)(x - 1) = 0

⇔ (x - 1)[x² - 2(x + 1)] = 0

⇔ (x - 1)(x² - 2x - 2) = 0

Đề kiểm tra Toán 9 | Đề thi Toán 9

* Ta có: x - 1 = 0 khi x = 1

* Xét x² – 2x - 2 = 0 (*)

Có ∆' = (-1)² - 1(-2) = 3 > 0 nên phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt:

x₁ = 1 + √3; x₂ = 1 - √3

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {1 - √3; 1; 1 + √3}

Đề kiểm tra Toán 9 | Đề thi Toán 9

Khi đó hệ phương trình trở thành:

Đề kiểm tra Toán 9 | Đề thi Toán 9

Bài 2:

a) Tập xác định của hàm số: R

Bảng giá trị

x	- 2	- 1	0	1	2
y = x²	4	1	0	1	2

Đồ thị hàm số y = x² là đường parabol nằm phía trên trục hoành, nhận trục Oy làm trục đối xứng và điểm O(0;0) là đỉnh và là điểm thấp nhất.

Đề kiểm tra Toán 9 | Đề thi Toán 9

b) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là x² = 2x + m ⇔ x² - 2x - m = 0

Δ' = 1-(-m) = 1 + m

(d) tiếp xúc với (P) khi và chỉ khi phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d có một nghiệm duy nhất

⇔ Δ' = 0 ⇔ 1 + m = 0 ⇔ m = -1

Vậy với m = -1 thì d tiếp xúc với (P)

Bài 3:

a) Δ' = 2² - (m - 2) = 6 - m

Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi Δ' ≥ 0

⇔ 6 - m ≥ 0 ⇔ m ≤ 6

Vậy với m ≤ 6 thì phương trình đã cho có nghiệm

b) Theo hệ thức Vi-et ta có:

Đề kiểm tra Toán 9 | Đề thi Toán 9

Theo bài ra:

3x₁ - x₂ = 8

⇔ 3x₁ - x₂ = 2(x₁ + x₂)

⇔ x₁ = 3x₂

Khi đó: x₁ + x₂ = 4 ⇔ 3x₂ + x₂ = 4 ⇔ 4x₂ = 4 ⇔ x₂ = 1

⇒ x₁ = 3

⇒ x₁ x₂ = 3 ⇒ m - 2 = 3 ⇔ m = 5

Vậy với m = 5 thì phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Bài 4:

Gọi vận tốc dự định của ô tô là x (km/h) (x > 15)

Thời gian dự định đi của ô tô là y (h) (y > 1)

⇒ Quãng đường AB là xy (km)

Nếu vận tốc tăng 30 km/h thì thời gian giảm đi 1h nên ta có phương trình:

(x + 30)(y - 1) = xy ⇔ -x + 30y = 30 (1)

Nếu vận tốc giảm 15 km/h thì thời gian tăng 1h nên ta có phương trình

(x - 15)(y + 1) = xy ⇔ x - 15y = 15 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Đề kiểm tra Toán 9 | Đề thi Toán 9

Vậy vận tốc đi từ A đến B là 60 km/h

Thời gian đi từ A đến B là 3h.

Bài 5:

Đề kiểm tra Toán 9 | Đề thi Toán 9

a) Chứng minh AI BC

Ta có ∠BEC = BDC = 90^o (hai góc nội tiếp chắn nửa đườn tròn)

Đề kiểm tra Toán 9 | Đề thi Toán 9

d) Tính BE.BA + CD.CA

Chứng minh tương tự câu b, CD.CA = CI.CB

Từ đó BE.BA + CD.CA = BI.BC + CI.CB

= (BI + CI).BC = BC.BC = BC² = 16² = 256

__________________________________________________________________________

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Đề khảo sát chất lượng Học kì 2

Năm học 2022 - 2023

Môn: Toán 9

Thời gian làm bài: 90 phút

Đề thi Học kì 2 Toán lớp 9 có đáp án - (Đề số 5)

Bài 1: (2,5 điểm)

1. Giải hệ phương trình: $\{\begin{cases} - 5 x + y = 10 \\ x + 3 y = - 18 \end{cases}$

2. a) Vẽ đồ thị hàm số y = 2x + 2.

b) Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị là đường thẳng (d), biết đường thẳng (d) đi qua điểm M(-1 ; 2) và song song với đường thẳng y = 2x + 2.

Bài 2: (2,0 điểm) Cho phương trình ẩn x: $x^{2} - 2 (m + 1) x + 2 m = 0$ (1)

a) Giải phương trình (1) với m = -2 ;

b) Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

c) Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là $x_{1}$ ; $x_{2}$ . Tìm giá trị của m để $x_{1}$ ; $x_{2}$ là độ dài hai cạnh của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng $\sqrt{12}$ .

Bài 3: (2,0 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình:

Một xe khách và một xe du lịch khởi hành đồng thời từ A đến B. Biết vận tốc của xe du lịch lớn hơn vận tốc xe khách là 20km/h. Do đó đến B trước xe khách là 50 phút. Tính vận tốc của mỗi xe, biết quãng đường AB dài 100km.

Bài 4: (3,5 điểm)

Cho hình vuông ABCD, điểm M thuộc cạnh BC (M khác B, C). Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DM, đường thẳng này cắt các đường thẳng DM và DC theo thứ tự tại H và K.

1. Chứng minh: Các tứ giác ABHD, BHCD nội tiếp đường tròn;

2. Tính $\hat{C H K}$ ;

3. Chứng minh KH.KB = KC.KD;

4. Đường thẳng AM cắt đường thẳng DC tại N. Chứng minh $\frac{1}{A D^{2}} = \frac{1}{A M^{2}} + \frac{1}{A N^{2}}$ .

Đáp án đề thi Học kì 2 môn Toán 9 - Đề số 5

Bài 1:

1. Ta có: $\{\begin{cases} - 5 x + y = 10 \\ x + 3 y = - 18 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 15 x + 3 y = 30 \\ x + 3 y = - 18 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 16 x = - 48 \\ x + 3 y = - 18 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - 3 \\ y = - 5 \end{cases}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x,y) = (-3 ; -5).

a) Cho x = 0 $\Rightarrow$ y = 2, ta được A(0 ; 2) $\in$ Oy

Cho y = 0 $\Rightarrow$ x = -1, ta được B(-1 ; 0) $\in$ Ox

Đồ thị hàm số y = 2x + 2 là đường thẳng đi qua hai điểm A và B

Vẽ đúng đồ thị hàm số y = 2x + 2:

Đề thi Học kì 2 Toán lớp 9 có đáp án (6 đề) (ảnh 1)

b) Vì đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = 2x + 2 nên $\{\begin{cases} a = 2 \\ b \neq 2 \end{cases}$

Ta có đường thẳng (d) đi qua điểm M(-1 ; 2):

Thay x = -1 và y = 2 vào đồ thị hàm số (d), ta có: -a + b = 2

Mà a = 2 nên b = 4 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy hàm số cần tìm có dạng y = 2x + 4.

Bài 2:

a) Với m = -2 ta được phương trình x² + 2x – 4 = 0

Ta có ∆’ = 1² – (-4) = 5 > 0

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_{1} = - 1 + \sqrt{5}; x_{2} = - 1 - \sqrt{5}$ .

Vậy với m = -2 tập nghiệm của phương trình đã cho là $S = \{- 1 + \sqrt{5}; - 1 - \sqrt{5}\}$

b) Xét phương trình (1) có $∆$ ’ = (m + 1)² – 2m = m² + 2m + 1 – 2m = m² + 1

Vì m² ≥ 0 với mọi m

Nên m² + 1 > 0 với mọi m hay ∆’ > 0 với mọi m.

Vậy với mọi m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

c) Theo b) phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ với mọi m.

Áp dụng định lí Viét ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2 (m + 1) \\ x_{1} x_{2} = 2 m \end{cases}$

Vì x₁ và x₂ là độ dài hai cạnh của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng $\sqrt{12}$ nên theo định lý Py – ta – go ta có:

$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 12$

$\Leftrightarrow {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} = 12$

$\Leftrightarrow {[2 (m + 1)]}^{2} - 2.2 m = 12$

$\Leftrightarrow 4 m^{2} + 8 m + 4 - 4 m = 12$

$\Leftrightarrow 4 m^{2} + 4 m - 8 = 0$

$\Leftrightarrow m^{2} + m - 2 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 1 \\ m = - 2 \end{array}$

Vậy với m = 1 hoặc m = -2 thì x₁; x₂ là độ dài hai cạnh của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng $\sqrt{12}$ .

Bài 3:

Gọi vận tốc xe khách là x(km/h) (x > 0)

Vận tốc xe du lịch là x + 20 (km/h)

Thời gian xe khách đi từ A đến B là $\frac{100}{x}$ (h)

Thời gian xe du lịch đi từ A đến B là $\frac{100}{x + 20}$ (h)

Do xe du lịch đến B trước xe khách 50 phút = $\frac{5}{6}$ giờ nên ta có phương trình:

$\frac{100}{x} - \frac{100}{x + 20} = \frac{5}{6} (x \neq 0, x \neq - 20)$

$\Leftrightarrow \frac{600 (x + 20)}{6 x (x + 20)} - \frac{600 x}{6 x (x + 20)} = \frac{5 x (x + 20)}{6 x (x + 20)} (x \neq 0, x \neq - 20)$

⇔ 120x + 2 400 – 120x = x² + 20x

⇔ x² + 20x – 2 400 = 0

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 40 \\ x = - 60 \end{array}$

Trong hai giá trị ta thấy x = 40 thỏa mãn điều kiện. Do đó vận tốc của xe khách là 40km/h và vận tốc của xe du lịch là 40 + 20 = 60 km/h.

Vậy vận tốc của xe khách là 40km/h và vận tốc của xe du lịch là 40 + 20 = 60 km/h.

Bài 4:

Vẽ hình đúng:

Đề thi Học kì 2 Toán lớp 9 có đáp án (6 đề) (ảnh 1)

a) Ta có: $\hat{D A B}$ = 90^o (ABCD là hình vuông) và $\hat{B H D}$ = 90^o (gt)

$\Rightarrow \hat{D A B} + \hat{B H D} = 90^{0} + 90^{0} = 180^{0}$

Mà hai góc ở vị trí đối nhau nên tứ giác ABHD nội tiếp đường tròn.

Ta có: $\hat{B H D}$ = 90^o (gt) và $\hat{B C D}$ = 90^o (ABCD là hình vuông)

$\Rightarrow \hat{B H D} = \hat{B C D} = 90^{0}$

Do đó H và C là hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn cạnh DB dưới một góc bằng nhau nên tứ giác BHCD nội tiếp đường tròn.

Theo ý a, tứ giác AHCD là nội tiếp đường tròn nên $\hat{B D C} + \hat{B H C} = 180^{o}$

Mà $\hat{C H K} + \hat{B H C} = 180^{o}$

$\Rightarrow \hat{C H K} = \hat{B D C}$

Vì ABCD là hình vuông nên $\hat{B D C} = \frac{\hat{A D C}}{2} = \frac{90^{0}}{2} = 45^{0}$ (tính chất hình vuông)

$\Rightarrow \hat{C H K} = 45^{0}$ .

c) Xét $∆$ KHD và $∆$ KCB, có:

$\hat{K H D} = \hat{K C B} = (90^{o})$

$\hat{D K B}$ chung

⇒ $∆$ KHD ∽ $∆$ KCB (g.g)

$\Rightarrow \frac{K H}{K C} = \frac{K D}{K B}$ $\Rightarrow$ KH.KB = KC.KD (đpcm).

d) Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AM, đường thẳng này cắt đường thẳng DC tại P.

Xét ∆BAM và ∆DAP, có:

$\hat{A B M} = \hat{A D P} = 90^{o}$

$\hat{B A M} = \hat{D A P}$ (cùng phụ $\hat{M A D}$ )

AB = AD (tính chất hình vuông ABCD)

⇒ $∆$ BAM = $∆$ DAP (g.c.g)

⇒ AM = AP (hai cạnh tương ứng)

Xét DPAN vuông tại A, có: AD $⊥$ PN

$\Rightarrow \frac{1}{A D^{2}} = \frac{1}{A P^{2}} + \frac{1}{A N^{2}}$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Mà AP = AM (cmt)

$\Rightarrow \frac{1}{A D^{2}} = \frac{1}{A M^{2}} + \frac{1}{A N^{2}}$ .

__________________________________________________________________________

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Đề khảo sát chất lượng Học kì 2

Năm học 2022 - 2023

Môn: Toán 9

Thời gian làm bài: 90 phút

Đề thi Học kì 2 Toán lớp 9 có đáp án - (Đề số 6)

Phần I. Trắc nghiệm (2 điểm)

Câu 1: Phương trình 4x – 3y = -1 nhận cặp số nào sau đây là một nghiệm?

A. (-1;-1)

B. (-1;1)

C. (1;-1)

D. (1;1)

Câu 2: Phương trình nào dưới đây có thể kết hợp với phương trình x+y = 1 để được một hệ phương trình có nghiệm duy nhất?

A. x + y = -1

B. 0.x + y = 1

C. 2y = 2 - 2x

D. 3y = -3x + 3

Câu 3: Cho hàm số $y = \frac{2}{3} x^{2}$ . Kết luận nào sau đây là đúng?

A. Hàm số trên luôn đồng biến

B. Hàm số trên luôn nghịch biến

C. Hàm số trên đồng biến khi x > 0 và nghịch biến khi x < 0

D. Hàm số trên đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0

Câu 4: Điểm P(-1;-2) thuộc đồ thị hàm số y = m.x² khi m bằng:

A. 2

B. -2

C. 4

D. -4

Câu 5: Tổng hai nghiệm của phương trình 2x²+5x-3=0 là:

A. $\frac{5}{2}$

B. $- \frac{5}{2}$

C. $- \frac{3}{2}$

D. $\frac{3}{2}$

Câu 6: Cho đường tròn(O ; R ) dây cung $A B = R \sqrt{2}$ . Khi đó góc AOB có số đo bằng

A. 20⁰

B. 30⁰

C. 60⁰

D. 90⁰

Câu 7: Cho các số đo như hình vẽ, biết $\hat{MON} {=60}^{0}$ . Độ dài cung Đề thi Học kì 2 Toán lớp 9 có đáp án (6 đề) (ảnh 1) là:

Đề thi Học kì 2 Toán lớp 9 có đáp án (6 đề) (ảnh 1)

A. $\frac{π R^{2} m}{6}$

B. $\frac{π R^{}}{3}$

C. $\frac{π R^{2}}{6}$

D. $\frac{π R^{2}}{3}$

Câu 8: Cho $∆$ ABC vuông tại A, AC = 3cm, AB = 4cm. Quay tam giác đó một vòng quanh cạnh AB được một hình nón. Diện tích xung quanh của hình nón đó là:

A. 10 $π$ (cm²)

B. 15 $π$ (cm²)

C. 20 $π$ (cm²)

D. 24 $π$ (cm²)

Phần II. Tự luận (8 đ)

Bài 1:

a) Giải hệ phương trình: $\{\begin{cases} 3 x - y = - 1 \\ - 3 x + 2 y = 5 \end{cases}$ .

b) Giải phương trình: (x + 3)² = (x² – 2x)²

Bài 2: Cho phương trình ẩn x, tham số m: x² – mx + m – 1 = 0

a) Chứng tỏ phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m

b) Gọi x₁ và x₂ là hai nghiệm của phương trình đã cho. Tìm giá trị của m để x₁².x₂ + x₁.x₂² = 2.

Bài 3: Cho (O; R) và một điểm A ở ngoài đường tròn. Qua A kẻ các tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B và C là các tiếp điểm). Gọi H giao điểm của AO và BC. Chứng minh:

a) ABOC là tứ giác nội tiếp

b) Kẻ đường kính BD của (O), vẽ CK vuông góc với BD.

Chứng minh: AC.CD = AO.CK

c) AD cắt CK ở I. Chứng minh I là trung điểm của CK

Bài 4: Cho 361 số tự nhiên $a_{1}, a_{2}, a_{3}, ....., a_{361}$ thỏa mãn điều kiện:

$\frac{1}{\sqrt{a_{1}}} + \frac{1}{\sqrt{a_{2}}} + \frac{1}{\sqrt{a_{3}}} + \cdot \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{\sqrt{a_{361}}} = 37$

Chứng minh rằng trong 361 số tự nhiên đó, tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau

Đáp án đề thi Học kì 2 môn Toán 9 - Đề số 6

Phần I. Trắc nghiệm (2 điểm)

Câu 1. Phương trình 4x – 3y = -1 nhận cặp số nào sau đây là một nghiệm?

A. (-1;-1)

B. (-1;1)

C. (1;-1)

D. (1;1)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là A

+) Thay x = -1 và y = -1 vào phương trình đã cho ta được: 4.(-1) – 3.(-1) = -1 ⇔ -1 = -1 (luôn đúng). Do đó cặp số (-1; -1) là nghiệm của phương trình đã cho.

+) Thay x = -1 và y = 1 vào phương trình đã cho ta được: 4.(-1) – 3.1 = -1 ⇔ -7 = -1 (vô lý). Do đó cặp số (-1; 1) không là nghiệm của phương trình đã cho.

+) Thay x = 1 và y = -1 vào phương trình đã cho ta được: 4.1 – 3.(-1) = 7 ⇔ 7 = -1 (vô lý). Do đó cặp số (1; -1) không là nghiệm của phương trình đã cho.

+) Thay x = 1 và y = 1 vào phương trình đã cho ta được: 4.1 – 3.1 = -1 ⇔ 1 = -1 (vô lý). Do đó cặp số (1; 1) không là nghiệm của phương trình đã cho.

Câu 2. Phương trình nào dưới đây có thể kết hợp với phương trình x + y = 1 để được một hệ phương trình có nghiệm duy nhất?

A. x + y = -1

B. 0.x + y = 1

C. 2y = 2 - 2x

D. 3y = -3x + 3

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là B

Tập nghiệm của phương trình x + y = 1 được biểu diễn bởi đường thẳng d₁: y = -x + 1

Tập nghiệm của phương trình x + y = -1 được biểu diễn bởi đường thẳng d₂: y = -x – 1

Tập nghiệm của phương trình 0.x + y = 1 được biểu diễn bởi đường thẳng d₃: y = 1

Tập nghiệm của phương trình 2y = 2 - 2x được biểu diễn bởi đường thẳng d₄: y = - x + 1

Tập nghiệm của phương trình 3y = -3x + 3 được biểu diễn bởi đường thẳng d₅: y = - x + 1

Ta có:

+) d₁//d₂ do đó hai phương trình không có nghiệm chung.

+) d₃ cắt d₂ tại điểm có tọa độ (2; 1) nên hai phương trình này có một nghiệm chung.

+) d₄ trùng d₁ nên hai phương trình có vô số nghiệm chung.

+) d₅ trùng d₁ nên hai phương trình có vô số nghiệm chung.

Vậy phương trình 0.x + y = 1 và phương trình đã cho tạo với nhau một hệ có một nghiệm duy nhất

Câu 3. Cho hàm số $y = \frac{2}{3} x^{2}$ . Kết luận nào sau đây là đúng?

A. Hàm số trên luôn đồng biến

B. Hàm số trên luôn nghịch biến

C. Hàm số trên đồng biến khi x > 0 và nghịch biến khi x < 0

D. Hàm số trên đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là C

Hàm số $y = \frac{2}{3} x^{2}$ có $a = \frac{2}{3} > 0$ khi đó hàm số đồng biến khi x > 0 và nghịch biến khi x < 0.

Câu 4. Điểm P(-1;-2) thuộc đồ thị hàm số y = m.x² khi m bằng:

A. 2

B. -2

C. 4

D. -4

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là B

Vì điểm P thuộc đồ thị hàm số nên thay x = - 1 và y = -2 vào hàm số ta được:

-2 = m.(-1)² ⇔ m = -2.

Vậy với m = -2 thì điểm P thuộc đồ thị hàm số đã cho.

Câu 5. Tổng hai nghiệm của phương trình 2x²+5x-3=0 là:

A. $\frac{5}{2}$

B. $- \frac{5}{2}$

C. $- \frac{3}{2}$

D. $\frac{3}{2}$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là B

Xét phương trình bậc hai 2x² + 5x – 3 = 0 có a = 2, b = 5, c = -3 và

∆ = b² – 4ac = 5² – 4.2.(-3) = 25 + 24 = 49 > 0

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_{1} = \frac{- 5 + \sqrt{49}}{2.2} = \frac{1}{2}, x_{2} = \frac{- 5 - \sqrt{49}}{2.2} = \frac{- 12}{4} = - 3$ .

Suy ra $x_{1} + x_{2} = \frac{1}{2} + (- 3) = - \frac{5}{2}$

Câu 6. Cho đường tròn (O ; R) dây cung $A B = R \sqrt{2}$ . Khi đó góc AOB có số đo bằng

A. 20⁰

B. 30⁰

C. 60⁰

D. 90⁰

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là D

Đề thi Học kì 2 Toán lớp 9 có đáp án (6 đề) (ảnh 1)

Kẻ đường thẳng OH vuông góc với AB tại H

Suy ra H là trung điểm của AB

$\Rightarrow A H = B H = \frac{ A B}{2} = \frac{R \sqrt{2}}{2}$

Xét ∆OHA vuông tại H, có:

$\sin \hat{A O H} = \frac{A H}{O A} = \frac{\frac{R \sqrt{2}}{2}}{R} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \hat{A O H} = 45^{0}$

Xét ∆AOB có OA = OB = R nên tam giác AOB cân tại O

Mà OH là đường cao nên OH là phân giác $\hat{A O B}$

$\Rightarrow \hat{A O H} = \hat{B O H} = 45^{0}$

$\Rightarrow \hat{A O B} = 90^{0}$

Câu 7. Cho các số đo như hình vẽ, biết $\hat{MON} {=60}^{0}$ . Độ dài cung Đề thi Học kì 2 Toán lớp 9 có đáp án (6 đề) (ảnh 1) là:

Đề thi Học kì 2 Toán lớp 9 có đáp án (6 đề) (ảnh 1)

A. $\frac{π R^{2} m}{6}$

B. $\frac{π R^{}}{3}$

C. $\frac{π R^{2}}{6}$

D. $\frac{π R^{2}}{3}$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là B

Độ dài cung Đề thi Học kì 2 Toán lớp 9 có đáp án (6 đề) (ảnh 1) là $= \frac{π R}{180^{0}} {.60}^{0} = \frac{π R}{3} .$

Câu 8. Cho $∆$ ABC vuông tại A, AC = 3cm, AB = 4cm. Quay tam giác đó một vòng quanh cạnh AB được một hình nón. Diện tích xung quanh của hình nón đó là:

A. 10 $π$ (cm²)

B. 15 $π$ (cm²)

C. 20 $π$ (cm²)

D. 24 $π$ (cm²)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là B

Đề thi Học kì 2 Toán lớp 9 có đáp án (6 đề) (ảnh 1)

Xét ∆ABC vuông tại A, có:

BC² = AB² + AC² (định lý Py – ta – go)

BC² = 3² + 4²

BC² = 25

BC = 5 (cm)

Đường sinh của hình nón chính là BC nên l = 5 (cm)

Bán kính đáy là cạnh AC, ta có: R = 3 (cm).

Khi đó diện tích xung quanh của hình nón là: $S = π R l = π .3.5 = 15 π$ (cm²)

Vậy diện tích xung quanh của hình nón sinh bởi tam giác ABC là $15 π$ cm².

Phần II. Tự luận (8 đ)

Bài 1:

a) $\{\begin{cases} 3 x - y = - 1 \\ - 3 x + 2 y = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x - y = - 1 \\ y = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x - 4 = - 1 \\ y = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x = 3 \\ y = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ y = 4 \end{cases}$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (1; 4).

b) Xét phương trình: (x + 3)² = (x² – 2x)²

⇔ (x + 3)² – (x² – 2x)² = 0

⇔ (x + 3 – x² + 2x)(x + 3 + x² – 2x) = 0

⇔ (– x² + 3x + 3)(x² – x + 3) = 0

TH1: – x² + 3x + 3 = 0 (1)

Ta có: ∆ = 3² – 4.(-1).3 = 9 + 12 = 21 > 0

Suy ra phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: $x_{1} = \frac{3 - \sqrt{21}}{2}; x_{2} = \frac{3 + \sqrt{21}}{2}$

TH2: x² – x + 3 (2)

Ta có: ∆ = (-1)² – 4.1.3 = 1 – 12 = -11 < 0

Suy ra phương trình (2) vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm $x_{1} = \frac{3 - \sqrt{21}}{2}; x_{2} = \frac{3 + \sqrt{21}}{2} .$

Bài 2:

a) Xét phương trình: x² – mx + m – 1 = 0, có:

∆ = (-m)² – 4.(m – 1) = m² – 4m + 4 = (m – 2)² ≥ 0 với mọi m

Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.

b) Gọi x₁ và x₂ là hai nghiệm của phương trình đã cho.

Áp dụng định lý Vi – ét, ta có:

$\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = m \\ x_{1} . x_{2} = m - 1 \end{cases}$

Xét biểu thức x₁².x₂ + x₁.x₂² = 2.

$\Leftrightarrow x_{1} . x_{2} (x_{1} + x_{2}) = 2$

$\Leftrightarrow m (m - 1) = 2$

$\Leftrightarrow m^{2} - m - 2 = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 0 \\ m - 1 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 0 \\ m = 1 \end{array}$

Vậy với m = 0; m = 1 thì phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện của bài toán.

Bài 3:

Vẽ hình đúng

Đề thi Học kì 2 Toán lớp 9 có đáp án (6 đề) (ảnh 1)

a) ABOC là tứ giác nội tiếp vì có tổng hai góc đối $\hat{A B O} + \hat{A C O} = 180^{0}$ .

b) $Δ A C O ~ Δ C K D$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{A C}{C K} = \frac{A O}{C D} = \frac{C O}{K D}$

$\Rightarrow \frac{A C}{C K} = \frac{A O}{C D}$

$\Rightarrow A C . C D = A O . C K$

c) Ta có: CK // AB ( cùng vuông góc với BD ) nên : IK // AB

Xét ∆ABD có IK // AB (cmt )

Do đó : $\frac{I K}{A B} = \frac{D K}{D B}$ ( định lí ta lét )

$\Rightarrow$ IK.DB = AB.KD (1)

Lại có $\Rightarrow \frac{A C}{C K} = \frac{A O}{C D} = \frac{C O}{K D}$ ( cmt )

Mà: AC = AB (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau); CO = OB = R

$\Rightarrow \frac{A B}{C K} = \frac{O B}{K D} \Rightarrow A B . K D = C K . O B$ (2)

Từ (1) và (2) ta có : IK.DB = CK.OB hay IK . 2R = CK . R

Do đó CK = 2IK.

Suy ra I là trung điểm của CK.

Bài 4:

Giả sử trong 361 số tự nhiên đó không tồn tại hai số nào bằng nhau

Không mất tính tổng quát, giả sử $a_{1} < a_{2} < a_{3} < ........... < a_{361}$

Do $a_{i} \in N (i = 1, 2, 3, .....361)$ nên: $a_{1} \geq 1; a_{2} \geq 2; .......; a_{361} \geq 361$

$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{a_{1}}} + \frac{1}{\sqrt{a_{2}}} + \frac{1}{\sqrt{a_{3}}} + ..... + \frac{1}{\sqrt{a_{361}}} \leq 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + ...... + \frac{1}{\sqrt{361}}$

Mà:

$1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + ...... + \frac{1}{\sqrt{361}} = \frac{2}{\sqrt{1} + \sqrt{1}} + \frac{2}{\sqrt{2} + \sqrt{2}} + \frac{2}{\sqrt{3} + \sqrt{3}} + .... + \frac{2}{\sqrt{361} + \sqrt{361}}$

$< 2 (\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + ....... + \frac{1}{\sqrt{360} + \sqrt{361}}) + 1$

$= 2 (\sqrt{2} - 1 + \sqrt{3} - \sqrt{2} + ........ + \sqrt{361} - \sqrt{360}) + 1 = 37$

Hay $\frac{1}{\sqrt{a_{1}}} + \frac{1}{\sqrt{a_{2}}} + \frac{1}{\sqrt{a_{3}}} + ..... + \frac{1}{\sqrt{a_{361}}} < 37$ (Trái với giả thiết)

Vậy Trong 361 số tự nhiên đó, tồn tại ít nhất hai số bằng nhau.

__________________________________________________________________________

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Đề khảo sát chất lượng Học kì 2

Năm học 2022 - 2023

Môn: Toán 9

Thời gian làm bài: 90 phút

Đề thi Học kì 2 Toán lớp 9 có đáp án - (Đề số 7)

Phần I. Trắc nghiệm

Câu 1: Cho hệ phương trình: $\{\begin{cases} 2 x + 3 y = 5 \\ 5 x - 4 y = 1 \end{cases}$ có một nghiệm là
A.(-1;1)

B.(-1;-1)

C,(1;-1)

D.(1;1)

Câu 2: Trong các phương trình sau phương nào là phương trình bậc hai một ẩn:

A. ( $\sqrt{3} - 1$ )x²= 3x + 5

B. (m – 2) x² – 3x + 2 = 0

C. $\frac{1}{x} = 2 x^{2} - 3$

D. $\sqrt{x^{2} + 5 x - 1} = 0$

Câu 3: Hàm số y = 3x²

A. Luôn đồng biến với mọi x.

B. Luôn nghịch biến với mọi x.

C. Đồng biến khi x > 0 và nghịch biến khi x < 0

D. Đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0

Câu 4: Phương trình: x² + 3x – 4 = 0 có 2 nghiệm là;

A. -1 và -4

B. 1 và - 4

C. -1và 4.

D. 1 và 4

Câu 5: Một hình trụ có diện tích xung quanh là S và thể tích là V. Nếu S và V có cùng giá trị (không kể đơn vị đo) thì bán kính của hình trụ bằng:

A. 1

B. 2

C. 3

D. Kết quả khác

Câu 6: Trong hình vẽ bên TA là tiếp tuyến của đường tròn. Nếu $\hat{A B O} = 25^{0}$ thì $\hat{T A B}$ bằng:

Đề thi Học kì 2 Toán lớp 9 có đáp án (6 đề) (ảnh 1)

A.130⁰

B.45⁰

C. 75⁰

D. 65⁰

Câu 7: Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai. Trong một đường tròn:

A. Các góc nội tiếp bằng nhau thì các cung bị chắn bằng nhau

B. Các góc nội tiếp cùng chắn một dây thì bằng nhau

C. Với hai cung nhỏ cung nào lớn hơn thì căng dây lớn hơn

D. Góc nội tiếp không quá 90⁰bằng nửa góc ở tâm cùng chắn một cung

Câu 8: Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai.

A. Góc ở tâm của đường tròn có số đo bằng nửa số đo của cung bị chắn

B. Trong một đường tròn hai cung có số đo bằng nhau thì bằng nhau

C. Trong hai cung tròn cung nào có số đo lớn hơn thì lớn hơn

D. Số đo của nửa đường tròn bằng 180⁰

Phần II. Tự luận

Bài 1: a) Giải hệ phương trình: $\{\begin{cases} 2 x + 3 y = - 2 \\ 3 x - 2 y = - 3 \end{cases}$

b) Không giải phương trình: x²+ 3x - 5 = 0. Hãy tính x₁²+ x₂² ; $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$ (Trong đó x₁; x₂là nghiệm của phương trình)

Bài 2: Cho phương trình: $x^{2} - 2 m x + 4 m - 4 = 0$ (1)

a) Giải phương trình với m = 3

b) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm

c) Viết biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm x₁; x₂ (x₁; x₂là nghiệm của phương trình (1)) không phụ thuộc vào m.

Bài 3: Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh 4 điểm B, E, C, F thuộc một đường tròn. Xác định tâm O của đường tròn này.

b) Chứng minh HE.HB = HD.HA = HF.HC

c) FD cắt đường tròn (O) tại I. Chứng minh EI vuông góc với BC.

Đáp án đề thi Học kì 2 môn Toán 9 - Đề số 7

I. Phần trắc nghiệm

Câu 1: Cho hệ phương trình: $\{\begin{cases} 2 x + 3 y = 5 \\ 5 x - 4 y = 1 \end{cases}$ có một nghiệm là
A.(-1;1)

B.(-1;-1)

C,(1;-1)

D.(1;1)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là D

$\{\begin{cases} 2 x + 3 y = 5 \\ 5 x - 4 y = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 8 x + 12 y = 20 \\ 15 x - 12 y = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 23 x = 23 \\ 15 x - 12 y = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ 15.1 - 12 y = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ y = 1 \end{cases}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm là (1; 1).

Câu 2: Trong các phương trình sau phương nào là phương trình bậc hai một ẩn:

A. ( $\sqrt{3} - 1$ )x²= 3x + 5

B. (m – 2) x² – 3x + 2 = 0

C. $\frac{1}{x} = 2 x^{2} - 3$

D. $\sqrt{x^{2} + 5 x - 1} = 0$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là A

( $\sqrt{3} - 1$ )x²= 3x + 5 ⇔ ( $\sqrt{3} - 1$ )x² - 3x – 5 = 0 là phương trình bậc hai một ẩn với $a = \sqrt{3} - 1$ , b = - 3, c = -5.

Câu 3: Hàm số y = 3x²

A. Luôn đồng biến với mọi x.

B. Luôn nghịch biến với mọi x.

C. Đồng biến khi x > 0 và nghịch biến khi x < 0

D. Đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là C

Hàm số y = 3x² có a = 3 > 0 nên hàm số đồng biến khi x > 0 và nghịch biến khi x < 0

Câu 4: Phương trình: x² + 3x – 4 = 0 có 2 nghiệm là:

A. -1 và -4

B. 1 và - 4

C. -1 và 4

D. 1 và 4

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là B

Xét phương trình x² + 3x – 4 = 0 có ∆ = 3² – 4.(-4) = 25 > 0

Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁ = 1 và x₂ = - 4.

Vậy phương trình có hai nghiệm x₁ = 1 và x₂ = - 4.

Câu 5: Một hình trụ có diện tích xung quanh là S và thể tích là V. Nếu S và V có cùng giá trị (không kể đơn vị đo) thì bán kính của hình trụ bằng:

A. 1

B. 2

C. 3

D. Kết quả khác

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là B

Gọi bán kính đáy của hình trụ là R và chiều cao hình trụ là h.

Diện tích xung quanh của hình trụ là: $S = 2 π R h$

Thể tích của hình trụ là: $V = π R^{2} h$

Vì S = V nên ta có: $2 π R h = π R^{2} h \Leftrightarrow R = 2$ .

Vậy R = 2.

Câu 6: Trong hình vẽ bên TA là tiếp tuyến của đường tròn. Nếu $\hat{A B O} = 25^{0}$ thì $\hat{T A B}$ bằng:

Đề thi Học kì 2 Toán lớp 9 có đáp án (6 đề) (ảnh 1)

A. 130⁰

B. 45⁰

C. 75⁰

D. 65⁰

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là C

Vì OA = OB nên tam giác OAB cân tại O

$\Rightarrow \hat{O A B} = \hat{O B A} = 25^{0}$

Vì TA là tiếp tuyến của đường tròn nên $T A ⊥ O A \Rightarrow \hat{T A O} = 90^{0}$

Ta lại có: $\hat{T A B} + \hat{O A B} = \hat{T A O}$

$\Leftrightarrow \hat{T A B} + 25^{0} = 90^{0} \Leftrightarrow \hat{T A B} = 75^{0}$

Vậy $\hat{T A B} = 75^{0} .$

Câu 7. Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai. Trong một đường tròn:

A. Các góc nội tiếp bằng nhau thì các cung bị chắn bằng nhau

B. Các góc nội tiếp cùng chắn một dây thì bằng nhau

C. Với hai cung nhỏ cung nào lớn hơn thì căng dây lớn hơn

D. Góc nội tiếp không quá 90⁰ bằng nửa góc ở tâm cùng chắn một cung

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là B

Đề thi Học kì 2 Toán lớp 9 có đáp án (6 đề) (ảnh 1)

Theo hình vẽ trên hai góc $\hat{A B C}$ và $\hat{A D C}$ là hai góc nội tiếp cùng chắn dây AC nhưng hai góc này không bằng nhau. Do đó phát biểu B sai.

Câu 8. Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai.

A. Góc ở tâm của đường tròn có số đo bằng nửa số đo của cung bị chắn

B. Trong một đường tròn hai cung có số đo bằng nhau thì bằng nhau

C. Trong hai cung tròn cung nào có số đo lớn hơn thì lớn hơn

D. Số đo của nửa đường tròn bằng 180⁰

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là A

Góc ở tâm của đường tròn có số đo bằng số đo của cung bị chắn.

II. Phần tự luận

Bài 1:

a) $\{\begin{cases} 2 x + 3 y = - 2 \\ 3 x - 2 y = - 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 4 x + 6 y = - 4 \\ 9 x - 6 y = - 9 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 13 x = - 13 \\ 3 x - 2 y = - 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - 1 \\ 3 (- 1) - 2 y = - 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - 1 \\ y = 0 \end{cases}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm (-1; 0).

b) Xét phương trình x²+ 3x - 5 = 0 có ∆ = 3² – 4.(-5) = 9 + 20 = 29 > 0

Suy ra phương trình có hai nghiệm x₁ và x₂.

Áp dụng định lý Viét: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a} = - 3 \\ x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} = - 5 \end{cases}$

Ta có: x₁²+ x₂²= (x₁+ x₂)² - 2x₁x₂ = (-3)² – 2.(-5) = 9 + 10 = 19.

$\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1} x_{2}} = \frac{- 3}{- 5} = \frac{3}{5}$

Bài 2:

a) Với m = 3 ta có phương trình: $x^{2} - 6 x + 8 = 0$

$Δ' = b'^{2} - a c = 3^{2} - 8 = 1$ > 0

Suy ra phương trình có hai nghiệm $x_{1} = \frac{3 + 1}{1} = 4; x_{2} = \frac{3 - 1}{1} = 2$ .

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x₁ = 4 và x₂ = 2.

b) Xét phương trình (1) có: $Δ' = b'^{2} - a c = m^{2} - 4 m + 4 = {(m - 2)}^{2} \geq 0$ với mọi số thực m.

Vậy với mọi giá trị của m thì phương trình có nghiệm.

c) Theo câu b) phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.

Nên theo hệ thức Viét ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a} = 2 m \\ x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} = 4 m - 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 (x_{1} + x_{2}) = 4 m (*) \\ x_{1} x_{2} = 4 m - 4 (* *) \end{cases}$

Trừ từng vế của phương trình (*) cho phương trình (**) ta được:

$2 (x_{1} + x_{2}) - x_{1} x_{2} = 4 \Leftrightarrow 2 (x_{1} + x_{2}) - x_{1} x_{2} - 4 = 0$

Đây là biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm x₁; x₂ không phụ thuộc vào m.

Bài 3:

Đề thi Học kì 2 Toán lớp 9 có đáp án (6 đề) (ảnh 1)

a) Chứng minh 4 điểm B, E, C, F thuộc một đường tròn.

Ta có: $\hat{B F C} = \hat{B E C} = 90^{0}$

Suy ra E, F là hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn cạnh BC dưới một góc bằng nhau bằng 90⁰. Do đó B, E, C, F cùng thuộc đường tròn đường kính BC.

Tâm O của đường tròn này là trung điểm của BC.

b) Chứng minh HE.HB = HD.HA = HF.HC

Ta có: $Δ H D B ~ Δ H E A (\hat{H D B} = \hat{H E A} = 90^{0}; \hat{B H D} = \hat{A H E})$

$\Rightarrow \frac{H D}{H E} = \frac{H B}{H A}$

⇒ HD.HA=HE.HB (1)

Tương tự

$Δ H D C ~ Δ H F A$

$\Rightarrow H D . H A = H F . H C$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra HE.HB = HD.HA = HF.HC

c) Chứng minh EI vuông góc với BC.

*Chứng minh tứ giác BFHD nội tiếp ( $\hat{B F H} + \hat{B D H} = 180^{0}$ )

Suy ra: $\hat{H F D} = \hat{H B D}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD)

Trong đường tròn (O), ta có: $\hat{H F D}$ là góc nội tiếp chắn Đề thi Học kì 2 Toán lớp 9 có đáp án (6 đề) (ảnh 1) và $\hat{H B D}$ là góc nội tiếp chắn . Do đó

Vậy BC $⊥$ EI.

__________________________________________________________________________

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Đề khảo sát chất lượng Học kì 2

Năm học 2022 - 2023

Môn: Toán 9

Thời gian làm bài: 90 phút

Đề thi Học kì 2 Toán lớp 9 có đáp án - (Đề số 8)

Bài 1: (1,5 điểm) Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} \frac{1}{x + 3} - \frac{2}{y - 1} = 9 \\ \frac{3}{x + 3} + \frac{1}{y - 1} = 6 \end{cases}$

Bài 2: (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình:

Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 720m², nếu tăng chiều dài 6m và giảm chiều rộng 4m thì diện tích của mảnh vườn không đổi. Tính các kích thước của mảnh vườn đó.

Bài 3: (2,0 điểm)

Cho phương trình bậc hai ẩn x, (m là tham số): $x^{2} - 4 x + m = 0$ (1)

a, Giải phương trình với m = 3.

b, Tìm điều kiện của m để phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Bài 4: (4,0 điểm)

1. Một lọ hoa hình trụ có đường kính đáy là 12cm, người ta đổ vào trong lọ một lượng nước với chiều cao cột nước là 20cm. Tính thể tích nước trong lọ hoa.

2. Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường tròn đường kính AD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E. Kẻ EF $⊥$ AD. Gọi M là trung điểm của AE. Chứng minh rằng:

a. Tứ giác ABEF nội tiếp một đường tròn.

b. Tia BD là tia phân giác của góc CBF.

c. Tứ giác BMFC nội tiếp một đường tròn.

Bài 5: (0,5 điểm)

Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 3$ .

Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = \frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{c + a}$ .

Đáp án đề thi Học kì 2 môn Toán 9 - Đề số 8

Bài 1:

Xét hệ phương trình $\{\begin{cases} \frac{1}{x + 3} - \frac{2}{y - 1} = 9 \\ \frac{3}{x + 3} + \frac{1}{y - 1} = 6 \end{cases}$ . Điều kiện $\{\begin{cases} x + 3 \neq 0 \\ y - 1 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq - 3 \\ y \neq 1 \end{cases}$

Đặt $a = \frac{1}{x + 3}, b = \frac{1}{y - 1}$ . Khi đó hệ phương trình đã cho tương đương với

$\{\begin{cases} a - 2 b = 9 \\ 3 a + b = 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a - 2 b = 9 \\ 6 a + 2 b = 12 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 7 a = 21 \\ 6 a + 2 b = 12 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 3 \\ 6.3 + 2 b = 12 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 3 \\ b = - 3 \end{cases}$ .

$\Rightarrow \{\begin{cases} \frac{1}{x + 3} = 3 \\ \frac{1}{y - 1} = - 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x + 3 = \frac{1}{3} \\ y - 1 = - \frac{1}{3} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{- 8}{3} \\ y = \frac{2}{3} \end{cases}$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $(- \frac{8}{3}; \frac{2}{3})$ .

Bài 2:

Gọi chiều dài của mảnh đất đó là x(m), x > 0

Chiều rộng của mảnh đất đó là $\frac{720}{x}$ (m)

Nếu tăng chiều dài 6m: x + 6 (m)

Và giảm chiều rộng 4m ta được: $\frac{720}{x} - 4$ (m)

Thì diện tích mảnh vườn là: $(x + 6) (\frac{720}{x} - 4) (m^{2})$

Do diện tích mảnh vườn không đổi nên ta có phương trình:

$(x + 6) (\frac{720}{x} - 4) = 720$

$\Leftrightarrow x . \frac{720}{x} - 4 x + \frac{720.6}{x} - 6.4 = 720$

$\Leftrightarrow 720 - 4 x + \frac{4 320}{x} - 24 = 720$

⇔ 4x² + 24x – 4320 = 0

⇔ x² + 6x – 1080 = 0

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 30 (T M) \\ x = - 36 (K T M) \end{array}$

Suy ra chiều dài mảnh đất đó là 30m, chiều rộng mảnh đất là $\frac{720}{30} = 24 m$ .

Vậy chiều dài mảnh đất đó là 30m, chiều rộng mảnh đất là 24m.

Bài 3.

a) Với m = 3 phương trình (1) trở thành $x^{2} - 4 x + 3 = 0$

Ta có ∆’ = (-2)² – 3 = 1 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

$x_{1} = \frac{2 + \sqrt{1}}{1} = 3, x_{2} = \frac{2 - \sqrt{1}}{1} = 1$ .

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x₁ = 3 và x₂ = 1.

b) Xét phương trình (1), ta có: $Δ' = {(- 2)}^{2} - m = 4 - m$

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì: ∆’ > 0 ⇔ 4 – m > 0 ⇔ m < 4.

Bài 4:

Bán kính đáy là: 12:2 = 6 cm.

Lượng nước trong bình cũng là hình trụ nên thể tích nước trong bình là:

$V = π R^{2} . h = π 6^{2} .20 = 720 π$ (cm³).

Vậy thể tích lượng nước trong bình là $720 π c m^{3} .$

Đề thi Học kì 2 Toán lớp 9 có đáp án (6 đề) (ảnh 1)

a) Chỉ ra $\hat{A B D} = 90^{0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

suy ra $\hat{A B E} = 90^{0}$

Vì EF $⊥$ AD nên $\hat{E F A} = 90^{0}$

$\Rightarrow \hat{A B E} + \hat{E F A} = 90^{0} + 90^{0} = 180^{0}$

Do đó tứ giác ABEF có tổng hai góc đối bằng 180⁰ nên nội tiếp được đường tròn.

b) Tứ giác ABEF nội tiếp suy ra $\hat{B_{1}} = \hat{A_{1}}$ ( hai góc nội tiếp cùng chắn Đề thi Học kì 2 Toán lớp 9 có đáp án (6 đề) (ảnh 1) )

Xét (O), có: $\hat{B_{2}} = \hat{A_{1}}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn Đề thi Học kì 2 Toán lớp 9 có đáp án (6 đề) (ảnh 1) )

Suy ra $\hat{B_{1}} = \hat{B_{2}}$

Do đó BD là tia phân giác của $\hat{C B F}$ .

c) Vì M là trung điểm của AE nên M là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABEF.

Ta có $\hat{M_{1}} = 2 \hat{A_{1}}$ (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn Đề thi Học kì 2 Toán lớp 9 có đáp án (6 đề) (ảnh 1) )

Ta lại có: $\hat{C B F} = 2 \hat{B_{1}}$ (BD là tia phân giác của $\hat{C B F}$ )

Mặt khác $\hat{B_{1}} = \hat{A_{1}}$

Suy ra $\hat{C B F} = \hat{M_{1}}$

Do đó B và M là hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn đoạn CF dưới một góc bằng nhau và chúng cùng phía đối với CF nên suy ra tứ giác BMFC nội tiếp một đường tròn.

Bài 5.

Với a > 0, b > 0 ta có: (a – b)²≥ 0 ⇔ (a + b)² ≥ 4ab ⇔ $\frac{a + b}{a b} \geq \frac{4}{a + b}$

⇔ $\frac{4}{a + b} \leq \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ ⇔ $\frac{1}{a + b} \leq \frac{1}{4} (\frac{1}{a} + \frac{1}{b})$ (1)

Chứng minh tương tự, ta có: $\frac{1}{b + c} \leq \frac{1}{4} (\frac{1}{b} + \frac{1}{c})$ (2)

$\frac{1}{a + c} \leq \frac{1}{4} (\frac{1}{a} + \frac{1}{c})$ (3)

Cộng vế với vế của (1), (2) và (3) ta được:

$\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{c + a} \leq \frac{1}{2} (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) = \frac{1}{2} .3 = \frac{3}{2} .$

Hay $A \leq \frac{3}{2}$

Dấu “=” xảy ra khi $\{\begin{cases} a = b = c \\ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 3 \end{cases} \Leftrightarrow a = b = c = 1$

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là $\frac{3}{2}$ khi a = b = c = 1.

__________________________________________________________________________

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Đề khảo sát chất lượng Học kì 2

Năm học 2022 - 2023

Môn: Toán 9

Thời gian làm bài: 90 phút

Đề thi Học kì 2 Toán lớp 9 có đáp án - (Đề số 9)

Bài 1: (2 điểm)

Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

a) $\{\begin{cases} \frac{x}{3} - \frac{y}{2} = - 3 \\ x + \frac{3 y}{4} = 0 \end{cases}$

b) x² - 10x + 24 = 0

Bài 2: (1,5 điểm)

a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số $y = \frac{1}{4} x^{2}$ trên hệ trục tọa độ.

b) Tìm tọa độ các giao điểm của đường thẳng (D) $y = - \frac{x}{2} + 2$ và (P) ở câu trên.

Bài 3: (1,5 điểm)

Cho phương trình : x²- mx + m -1 = 0 (m là tham số)

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

b) Gọi x₁, x₂ là các nghiệm của phương trình. Tìm m để biểu thức M = x₁² + x₂² đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 4: (1 điểm)

Tính diện tích xung quanh của một chiếc thùng phi hình trụ, biết chiều cao của thùng phi là 1,2 m và đường kính của đường tròn đáy là 0,6m.

Đề thi Học kì 2 Toán lớp 9 có đáp án (6 đề) (ảnh 1)

Bài 5: (3,5 điểm)

Cho tam giác ABC có $\hat{A} > 90^{0}$ . Vẽ đường tròn (O) đường kính AB và đường tròn (O’) đường kính AC. Đường thẳng AB cắt đường tròn (O’) tại điểm thứ hai là D, đường thẳng AC cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E.

1. Chứng minh bốn điểm B, C, D, E cùng nằm trên một đường tròn.

2. Gọi F là giao điểm của hai đường tròn (O) và (O’) (F khác A). Chứng minh ba điểm B, F, C thẳng hàng và FA là phân giác của góc EFD.

3. Gọi H là giao điểm của AB và EF. Chứng minh A là tâm đường tròn nội tiếp $∆$ DEF và BH.AD = AH.BD.

Bài 6: (0,5 điểm)

Cho x, y là hai số thực thoả mãn x.y = 1.

Chứng minh: $\frac{4}{{(x + y)}^{2}} + x^{2} + y^{2} \geq 3$ . Đẳng thức xảy ra khi nào?

Đáp án đề thi Học kì 2 môn Toán 9 - Đề số 9

Bài 1:

a) $\{\begin{cases} \frac{x}{3} - \frac{y}{2} = 3 \\ x + \frac{3 y}{4} = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x - 3 y = 18 \\ 4 x + 3 y = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 6 x = 18 \\ 4 x + 3 y = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 3 \\ y = - 4 \end{cases}$

Vậy hệ PT có nghiệm (3;-4)

b) Ta có: $∆$ ^’ = 25 – 24 = 1 > 0,

Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1} = \frac{5 + \sqrt{1}}{2} = 3, x_{2} = \frac{5 - \sqrt{1}}{2} = 2$

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt: x₁ = 6, x₂ = 4.

Bài 2:

a) Ta có bảng giá trị:

x	-4	-2	0	2	4
$y = \frac{1}{4} x^{2}$	4	1	0	1	4

Đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua các điểm A(-4; 4), B(-2; 1), O(0; 0), C(2; 1), D(4; 4).

Đồ thị hàm số

Đề thi Học kì 2 Toán lớp 9 có đáp án (6 đề) (ảnh 1)

b) Hoành độ giao điểm của (P) và (D) là nghiệm của phương trình

$\frac{x^{2}}{4} = \frac{- x}{2} + 2 \Leftrightarrow x^{2} + 2 x - 8 = 0$

Ta có ∆’ = 1² – 1.(-8) = 9 > 0

Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_{1} = \frac{- 1 + \sqrt{9}}{1} = 2, x_{2} = \frac{- 1 - \sqrt{9}}{1} = - 4$ .

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x₁ = 2, x₂ = - 4.

Thay x₁ = 2 vào hàm số $y = \frac{1}{4} x^{2}$ ta được y = 1

Thay x₁ = -4 vào hàm số $y = \frac{1}{4} x^{2}$ ta được y = 4

Vậy tọa độ giao điểm của (D) và (P) là (2 ;1) và (-4 ;4).

Bài 3: (1,5 điểm)

a) Ta có $∆$ = m² – 4(m-1) = m² - 4m + 4 = (m - 2)² ≥ 0 với mọi m

Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.

b) Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình.

Theo hệ thức Vi -ét có: x₁ + x₂ = m và x₁.x₂ = m – 1

Xét biểu thức x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁.x₂ = m² – 2m + 2

= (m - 1)²+ 1 ≥ 1 ( vì (m -1)²≥ 0 với mọi m)

Dấu ‘=’ xảy ra khi m - 1 = 0 suy ra m =1

Vậy x₁² + x₂² có giá trị nhỏ nhất là 1 khi m = 1.

Bài 4:

Bán kính đường tròn đáy là: 0,6:2 = 0,3 (m).

Thể tích của thùng phi hình trụ là:

V = πr²h = π .0,3². 1,2 = 0,108π (cm³)

Bài 5:

Vẽ hình đúng

Đề thi Học kì 2 Toán lớp 9 có đáp án (6 đề) (ảnh 1)

a) Xét (O) ta có $\hat{A E B} = 90^{0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét (O’) ta có $\hat{A D C} = 90^{0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow \hat{A E B} = \hat{A D C} = 90^{0}$

Suy ra E và D là hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn BC dưới một góc 90⁰.

Do đó tứ giác BEDC nội tiếp đường tròn hay bốn điểm B, C, D, E cùng nằm trên một đường tròn.

b) Ta có $\hat{A F B} = \hat{A F C} = 90^{0}$ (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow \hat{A F B} + \hat{A F C} = 180^{0}$

Suy ra ba điểm B, F, C thẳng hàng

Ta có $\hat{AF E} = \hat{A B E}$ (cùng chắn Đề thi Học kì 2 Toán lớp 9 có đáp án (6 đề) (ảnh 1) ) và $\hat{AFD} = \hat{A C D}$ (cùng chắn )

Mà $\hat{E C D} = \hat{E B D}$ (cùng chắn Đề thi Học kì 2 Toán lớp 9 có đáp án (6 đề) (ảnh 1) của tứ giác BCDE nội tiếp)

Suy ra: $\hat{AF E} = \hat{A F D}$ ⇒ FA là phân giác của góc DFE.

c) Chứng minh được tương tự câu b có EA là phân giác của tam giác DEF

Mà FA cắt DA tại A nên A là tâm đường tròn nội tiếp $∆$ DEF

Ta có EA là phân giác của tam giác DEH suy ra $\frac{A H}{A D} = \frac{E H}{ED}$ (1)

Chứng minh được EB là phân giác ngoài của tam giác DHE và suy ra $\frac{B H}{B D} = \frac{E H}{E D}$ (2)

Từ (1), (2) ta có: $\frac{A H}{A D} = \frac{B H}{BD} \Leftrightarrow A H . B D = B H . A D$ .

Bài 6:

Xét $\frac{4}{{(x + y)}^{2}} + x^{2} + y^{2} \geq 3$

$\Leftrightarrow \frac{4}{x^{2} + 2 x y + y^{2}} + x^{2} + y^{2} \geq 3$

$\Leftrightarrow \frac{4}{x^{2} + y^{2} + 2} + x^{2} + y^{2} \geq 3$

$\Leftrightarrow$ 4 + (x² + y²)² +2(x² + y²) $\geq$ 3(x² + y²) + 6

$\Leftrightarrow$ (x² +y²)² - 4(x² +y²) +4 +3(x² +y²) - 6 $\geq$ 0

$\Leftrightarrow$ [(x² +y²) -2]² +3[x² +y²- 2xy] $\geq$ 0

$\Leftrightarrow$ [(x² +y²) - 2]² + 3(x-y)² $\geq$ 0 (luôn đúng)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: $\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} = 2 \\ x = y \end{cases} \Leftrightarrow x = y = 1$ .

__________________________________________________________________________

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Đề khảo sát chất lượng Học kì 2

Năm học 2022 - 2023

Môn: Toán 9

Thời gian làm bài: 90 phút

Đề thi Học kì 2 Toán lớp 9 có đáp án - (Đề số 10)

I. Phần trắc nghiệm (2 điểm)

Câu 1: Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 4 \end{cases}$ được nghiệm là :

A. $\{\begin{cases} x = -3 \\ y = 2 \end{cases}$ ;

B. $\{\begin{cases} x = 3 \\ y = 2 \end{cases}$ ;

C. $\{\begin{cases} x = 3 \\ y = -2 \end{cases}$ ;

D. $\{\begin{cases} x = -3 \\ y = -2 \end{cases}$ .

Câu 2: Cho hàm số y = - $\frac{1}{2} x^{2}$ . Kết luận nào sau đây là đúng?

A. Hàm số luôn nghịch biến;

B. Hàm số luôn đồng biến;

C. Giá trị của hàm số luôn âm;

D. Hàm số nghịch biến khi x > 0 và đồng biến khi x < 0.

Câu 3: Phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì

A. x₁ = 1 , x₂= $\frac{c}{a}$ ;

B. x₁ = -1 , x₂= - $\frac{c}{a}$ ;

C. x₁ = 1 , x₂= - $\frac{c}{a}$ ;

D. x₁ = -1 , x₂= $\frac{c}{a}$ .

Câu 4: Phương trình nào sau đây có 2 nghiệm phân biệt :

A. x² – 6x + 9 = 0;

B. x² + 1 = 0;

C. 2x² – x – 1 = 0;

D. x² + x + 1 = 0.

Câu 5: Hai số u và v có tổng là 10 và tích là 21 thì hai số đó là nghiệm của phương trình:

A. x² + 10x + 21 = 0;

B. x² - 21x + 10 = 0;

C. x² - 10x - 21 = 0;

D. x² - 10x + 21 = 0.

Câu 6: Trên hình 1, hãy chọn đáp án đúng:

Đề thi Học kì 2 Toán lớp 9 có đáp án (6 đề) (ảnh 1)

A. $\hat{BAC} = \frac{1}{2}$ sđ Đề thi Học kì 2 Toán lớp 9 có đáp án (6 đề) (ảnh 1) ;

B. $\hat{BAC} = \frac{1}{2}$ Đề thi Học kì 2 Toán lớp 9 có đáp án (6 đề) (ảnh 1) ;

C. $\hat{BAC} = \frac{1}{2}$ Đề thi Học kì 2 Toán lớp 9 có đáp án (6 đề) (ảnh 1) ;

D. Tất cả các ý trên.

Câu 7. Thể tích của hình nón bán kính r và chiều cao h là :

A. V = $\frac{1}{3}$ πr²h ;

B. V = $\frac{1}{3}$ πrh²;

C. V = $\frac{1}{3}$ π(rh)²;

D. V = $\frac{1}{3}$ π²rh.

Câu 8. Trên hình 1, hãy chọn đáp án đúng:

Đề thi Học kì 2 Toán lớp 9 có đáp án (6 đề) (ảnh 1)

A. $\hat{BAx} = \frac{1}{2}$ sđ Đề thi Học kì 2 Toán lớp 9 có đáp án (6 đề) (ảnh 1)

B. $\hat{BAx} = \frac{1}{2}$ Đề thi Học kì 2 Toán lớp 9 có đáp án (6 đề) (ảnh 1)

C. $\hat{BAx} = \frac{1}{2}$ (sđ Đề thi Học kì 2 Toán lớp 9 có đáp án (6 đề) (ảnh 1) - sđ)

D. Tất cả đều sai.

II. Phần tự luận (8 điểm)

Bài 1: (1,5 điểm)

Cho hệ phương trình: $\{\begin{cases} m x + 2 y = 3 \\ 2 x - m y = 11 \end{cases}$ (với m là tham số)

a) Giải hệ khi m = 2

b) Chứng tỏ rằng hệ luôn có nghiệm duy nhất với mọi giá trị của m.

Bài 2: (1,0 điểm)

Quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh CD cố định ta được một hình trụ có diện tích xung quanh là 96π cm², biết CD = 12cm. Hãy tính bán kính của đường tròn đáy và thể tích của hình trụ đó.

Bài 3: (2 điểm)

Cho phương trình: x²- 2mx + m² - m -2 =0

a) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt trái dấu.

b) Tìm m để phương trình đã cho 2 nghiệm x₁; x₂ sao cho x₁² + x₂² = 4.

Bài 4: (3,5 điểm)

Cho tam giác ABC (có ba góc nhọn) nội tiếp đường tròn (O) và tia phân giác của góc $\hat{B}$ cắt đường tròn tại M. Các đường cao BD và CK của $Δ ABC$ cắt nhau tại H.

a) Chứng minh rằng tứ giác ADHK nội tiếp một đường tròn.

b) Chứng minh rằng OM là tia phân giác của góc $\hat{AOC}$ .

c) Gọi I là giao điểm của OM và AC. Tính tỉ số $\frac{OI}{BH}$ .

Đáp án đề thi Học kì 2 môn Toán 9 - Đề số 10

I. Phần trắc nghiệm (2 điểm)

Câu 1: Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 4 \end{cases}$ được nghiệm là :

A. $\{\begin{cases} x = -3 \\ y = 2 \end{cases}$ ;

B. $\{\begin{cases} x = 3 \\ y = 2 \end{cases}$ ;

C. $\{\begin{cases} x = 3 \\ y = -2 \end{cases}$ ;

D. $\{\begin{cases} x = -3 \\ y = -2 \end{cases}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là B

Ta có: $\{\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3x = 9 \\ 2x - y = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 3 \\ 2.3 - y = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 3 \\ y = 2 \end{cases}$ .

Câu 2: Cho hàm số y = - $\frac{1}{2} x^{2}$ . Kết luận nào sau đây là đúng ?

A. Hàm số luôn nghịch biến;

B. Hàm s $\frac{c}{a}$ ố luôn đồng biến;

C. Giá trị của hàm số luôn âm;

D. Hàm số nghịch biến khi x > 0 và đồng biến khi x < 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là D

Hàm số y = - $\frac{1}{2} x^{2}$ có $a = - \frac{1}{2}$ < 0 nên hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0.

Câu 3: Phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì

A. x₁ = 1 , x₂= $\frac{c}{a}$ ;

B. x₁ = -1 , x₂= - $\frac{c}{a}$ ;

C. x₁ = 1 , x₂= - $\frac{c}{a}$ ;

D. x₁ = -1 , x₂= $\frac{c}{a}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là A

Phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm x₁ = 1 và x₂ = $\frac{c}{a}$ .

Câu 4: Phương trình nào sau đây có 2 nghiệm phân biệt :

A. x² – 6x + 9 = 0;

B. x² + 1 = 0;

C. 2x² – x – 1 = 0;

D. x² + x + 1 = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là C

Phương trình x² – 6x + 9 = 0 có ∆’ = 3² – 9 = 0 nên phương trình có nghiệm kép. Do đó A sai.

Phương trình x² + 1 = 0 có ∆ = 0² – 1 = - 1 < 0 nên phương trình vô nghiệm. Do đó B sai.

Phương trình 2x² – x – 1 = 0 có ∆ = (-1)² – 4.2.(-1) = 1 + 8 = 9 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt. Do đó C đúng.

Phương trình x² + x + 1 = 0 có ∆ = 1² – 4.1.1 = -3 < 0 nên phương trình vô nghiệm. Do đó D sai.

Câu 5: Hai số u và v có tổng là 10 và tích là 21 thì hai số đó là nghiệm của phương trình:

A. x² + 10x + 21 = 0;

B. x² - 21x + 10 = 0;

C. x² - 10x - 21 = 0;

D. x² - 10x + 21 = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là D

Phương trình cần tìm có tổng S = 10 và tích là P = 21 có dạng:

x² – Sx + P = 0

⇔ x² – 10x + 21 = 0.

Câu 6. Trên hình 1, hãy chọn đáp án đúng:

Đề thi Học kì 2 Toán lớp 9 có đáp án (6 đề) (ảnh 1)

A. $\hat{BAC} = \frac{1}{2}$ sđ Đề thi Học kì 2 Toán lớp 9 có đáp án (6 đề) (ảnh 1) ;

B. $\hat{BAC} = \frac{1}{2}$ sđ Đề thi Học kì 2 Toán lớp 9 có đáp án (6 đề) (ảnh 1) ;

C. $\hat{BAC} = \frac{1}{2}$ sđ Đề thi Học kì 2 Toán lớp 9 có đáp án (6 đề) (ảnh 1) ;

D. Tất cả các ý trên.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là A

Ta có $\hat{B A C}$ là góc nội tiếp chắn cung Đề thi Học kì 2 Toán lớp 9 có đáp án (6 đề) (ảnh 1)

$\Rightarrow \hat{BAC} = \frac{1}{2}$ sđ Đề thi Học kì 2 Toán lớp 9 có đáp án (6 đề) (ảnh 1)

Câu 7. Thể tích của hình nón bán kính r và chiều cao h là :

A. V = $\frac{1}{3}$ πr²h ;

B. V = $\frac{1}{3}$ πrh²;

C. V = $\frac{1}{3}$ π(rh)²;

D. V = $\frac{1}{3}$ π²rh.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là A

Thể tích của hình nón có bán kính đáy r và chiều cao là V = $\frac{1}{3}$ πr²h.

Câu 8. Trên hình 1, hãy chọn đáp án đúng:

Đề thi Học kì 2 Toán lớp 9 có đáp án (6 đề) (ảnh 1)

A. $\hat{BAx} = \frac{1}{2}$ sđ Đề thi Học kì 2 Toán lớp 9 có đáp án (6 đề) (ảnh 1)

B. $\hat{BAx} = \frac{1}{2}$ sđ Đề thi Học kì 2 Toán lớp 9 có đáp án (6 đề) (ảnh 1)

C. $\hat{BAx} = \frac{1}{2}$ (sđ Đề thi Học kì 2 Toán lớp 9 có đáp án (6 đề) (ảnh 1) - sđ)

D. Tất cả đều sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là B

Ta có $\hat{BAx}$ là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn Đề thi Học kì 2 Toán lớp 9 có đáp án (6 đề) (ảnh 1)

$\Rightarrow \hat{BAx} = \frac{1}{2}$ sđ Đề thi Học kì 2 Toán lớp 9 có đáp án (6 đề) (ảnh 1)

II. Phần tự luận

Bài 1:

a) Với m=2 hệ trở thành: $\{\begin{cases} 2 x + 2 y = 3 \\ 2 x - m y = 11 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{7}{2} \\ x = - 2 \end{cases}$

b) Xét hệ: $\{\begin{cases} 2 x + 2 y = 3 \\ 2 x - m y = 11 \end{cases}$ (Với m là tham số)

Từ hai phương trình của hệ suy ra: $(m^{2} + 4) x = 22 - 3 m$ (*)

Vì phương trình (*) luôn có nghiệm với mọi m nên hệ đã cho luôn có nghiệm với mọi m.

Bài 2:

Ta có hình vẽ sau:

Đề thi Học kì 2 Toán lớp 9 có đáp án (6 đề) (ảnh 1)

Khi đó h = CD = 12cm.

Diện tích xung quanh của hình trụ là $2 π R h = 96 π$

$\Leftrightarrow R = \frac{96 π}{2 π h} = \frac{96 π}{2 π .12} = 4 c m$ .

Do đó bán kính hình tròn đáy là 4cm.

Thể tích của hình trụ là: V = πR²h = π.4².16 = 256π (cm³)

Vậy bán kính đường tròn đáy là 4cm và thể tích hình trụ đã cho là 256π cm³.

Bài 3:

b) Tìm m để phương trình đã cho 2 nghiệm x₁; x₂ sao cho x₁² + x₂² = 4.

a) Xét phương trình x²- 2mx + m² - m - 2 = 0 có a = 1, b = -2m, c = m² – m – 2

Ta có: ∆’ = m² – m² + m + 2 = m + 2

Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi ∆’ > 0 ⇔ m + 2 > 0 ⇔ m > - 2.

Hai nghiệm của phương trình đã cho trái dấu khi a.c < 0 ⇔ m² – m – 2 < 0

⇔ (m – 2)(m + 1) < 0

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} m - 2 < 0 \\ m + 1 > 0 \end{cases} \\ \{\begin{cases} m - 2 > 0 \\ m + 1 < 0 \end{cases} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} m < 2 \\ m > 0 \end{cases} \\ \{\begin{cases} m > 2 \\ m < - 1 \end{cases} \end{array} \Leftrightarrow 0 < m < 2$

Vậy với 0 < m < 2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt trái dấu.

b) Theo ý a) với m > - 2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x₁ và x₂.

Áp dụng định lý Vi – et, ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2 m \\ x_{1} . x_{2} = m^{2} - m - 2 \end{cases}$

Xét biểu thức: x₁² + x₂² = 4

⇔ (x₁ + x₂)² – 2x₁x₂ = 4

⇔ 4m² – 2(m² – m – 2) = 4

⇔ 4m² – 2m² + 2m + 4 = 4

⇔ 2m² + 2m = 0

⇔ 2m(m + 1) = 0

⇔ $[\begin{array}{l} 2 m = 0 \\ m + 1 = 0 \end{array}$

⇔ $[\begin{array}{l} m = 0 (T M) \\ m = - 1 (K T M) \end{array}$

Vậy với m = 0 thì phương trình đã cho có hai nghiệm x₁ và x₂thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 4:

Đề thi Học kì 2 Toán lớp 9 có đáp án (6 đề) (ảnh 1)

a) Ta có $B D ⊥ A C \Rightarrow \hat{A D H} = 90^{0}$

Ta lại có $C K ⊥ A B \Rightarrow \hat{A K H} = 90^{0}$

$\Rightarrow \hat{A D H} + \hat{A K H} = 90^{0}$

Suy ra tứ giác ADHK có tổng hai góc đối nhau bằng 180⁰ nên tứ giác nội tiếp đường tròn.

b) Xét (O), có:

$\hat{A B M} = \frac{1}{2} \hat{A O M}$ (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn Đề thi Học kì 2 Toán lớp 9 có đáp án (6 đề) (ảnh 1) )

$\hat{C B M} = \frac{1}{2} \hat{C O M}$ (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn Đề thi Học kì 2 Toán lớp 9 có đáp án (6 đề) (ảnh 1) )

Mà $\hat{A B M} = \hat{C B M}$ (BM là tia phân giác của $\hat{A B C}$ )

$\Rightarrow \hat{A O M} = \hat{C O M}$

Do đó OM là tia phân giác của $\hat{A O C}$ .

Đề thi Học kì 2 Toán lớp 9 có đáp án (6 đề) (ảnh 1)

Xét ∆OAC có OA = OC nên ∆OAC cân tại O

Ta có OA là phân giác của $\hat{A O C}$

Suy ra OA là đường trung tuyến

Do đó I là trung điểm của AC

Kẻ đường kính BN

Ta có: $\hat{B C N} = 90^{0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow C N ⊥ B C$

Ta lại có $A H ⊥ B C$ (H là trực tâm tam giác)

⇒ AH // CN (1)

Ta có: $\hat{B A N} = 90^{0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow A B ⊥ A N$

Ta lại có $C H ⊥ A B$ (H là trực tâm tam giác)

⇒ AN // CH (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác AHCN là hình bình hành.

Mà I là trung điểm của AC

Suy ra I là trung điểm của HN (tính chất hình bình hành)

Xét ∆BHN, có:

O là trung điểm của BN

I là trung điểm của HN

Suy ra OI là đường trung bình của tam giác

$\Rightarrow O I = \frac{1}{2} B H \Leftrightarrow \frac{O I}{B H} = \frac{1}{2}$ .

__________________________________________________________________________

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Đề khảo sát chất lượng Học kì 2

Năm học 2022 - 2023

Môn: Toán 9

Thời gian làm bài: 90 phút

Đề thi Học kì 2 Toán lớp 9 có đáp án - (Đề số 11)

Bài I (2,0 điểm). Cho biểu thức Hỏi đáp VietJack

1) Rút gọn biểu thức A

2) Tìm x để A=5/6

3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A

Bài II (2,0 điểm). Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Hai đội công nhân cùng làm một công việc thì làm xong trong 8 giờ. Nếu mỗi đội làm một mình xong công việc đó, đội thứ nhất cần ít thời gian hơn so với đội thứ hai là 12 giờ. Hỏi mỗi đội làm một mình xong công việc đó trong bao lâu?

Bài III (2,0 điểm).

Hỏi đáp VietJack

Bài IV (3,5điểm). Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R và AH là đường cao của tam giác ABC. Gọi M, N thứ tự là hình chiếu của H trên AB, AC

1) Chứng minh tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp

2) Chứng minh

3) Chứng minh OA vuông góc với MN

4) Cho biết . Chứng minh M, O, N thẳng hàng.

Hỏi đáp VietJack

__________________________________________________________________________

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Đề khảo sát chất lượng Học kì 2

Năm học 2022 - 2023

Môn: Toán 9

Thời gian làm bài: 90 phút

Đề thi Học kì 2 Toán lớp 9 có đáp án - (Đề số 12)

Bài I (2,0 điểm): Cho hai biểu thức Hỏi đáp VietJack

1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 4

2) Rút gọn biểu thức B

3) Tìm các giá trị của x để A=3/2

Bài II (2,0 điểm): Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Một tổ công nhân dự định làm xong 240 sản phẩm ttrong một thời gian nhất định. Nhưng thực tế khi thực hiện, nhờ cải tiến kĩ thuật nên mỗi ngày tổ làm tăng thêm 10 sản phẩm so với dự định. Do đó, tổ đã hoàn thành công việc sớm hơn dự định 2 ngày. Hỏi theo dự định mỗi ngày tổ làm được bao nhiêu sản phẩm

Bài III (2,0 điểm): Cho phương trình

a) Chứng tỏ rằng phương trình có hai nghiệm với mọi giá trị của m

Hỏi đáp VietJack

Bài IV (3,5 điểm): Cho A là một điểm thuộc đường tròn (O; R). Kẻ tiếp tuyến Ax của đường tròn (O). Lấy điểm B thuộc tia Ax sao cho AB < 2R. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB, đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt đường tròn (O) tại H và K (H nằm giữa M và K)

Hỏi đáp VietJack

4) Lấy C đối xứng với B qua AK. Chứng minh điểm C thuộc đường tròn (O; R)

Bài V (0,5 điểm): Giải phương trình

__________________________________________________________________________

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Đề khảo sát chất lượng Học kì 2

Năm học 2022 - 2023

Môn: Toán 9

Thời gian làm bài: 90 phút

Đề thi Học kì 2 Toán lớp 9 có đáp án - (Đề số 13)

Bài 1 (2,0 điểm) :

Cho các biểu thức Bộ Đề thi Toán lớp 9 Học kì 2 năm 2021 - 2022 (15 đề) và với x ≥ 0, x ≠ 4, x ≠ 9

a) Tính giá trị của biểu thức Q khi Bộ Đề thi Toán lớp 9 Học kì 2 năm 2021 - 2022 (15 đề)

b) Rút gọn biểu thức T = P : Q

c) Tìm x để Bộ Đề thi Toán lớp 9 Học kì 2 năm 2021 - 2022 (15 đề) có giá trị nguyên

Bài 2 (2,0 điểm) : Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Bạn An dự định thực hiện công việc quét sơn cho 40m² tường trong một thời gian nhất định. Tuy nhiên, khi thực hiện mỗi giờ bạn An quét được ít hơn dự định là 2m² , do đó bạn đã hoàn thành công việc chậm hơn so với kế hoạch là một giờ. Hỏi nếu đúng kế hoạch thì bạn An hoàn thành công việc trong bao lâu?

Bài 3 (2,5 điểm) :

1) Giải hệ phương trình Bộ Đề thi Toán lớp 9 Học kì 2 năm 2021 - 2022 (15 đề)

2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = mx - 2m + 3 và parabol (P): y = x²

a) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁, x₂ thỏa mãn x₁²x₂ + x₂²x₁ = 5 .

b) Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất của m để (d) và (P) không có điểm chung.

Bài 4 (3,0 điểm) : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao BE và CF cắt nhau tại H.

1) Chứng minh tứ giác BFEC là tứ giác nội tiếp

2) Chứng minh

3) BE và CF lần lượt cắt (O) tại điểm thứ hai là M và N. Chứng minh EF // MN

4) Giả sử B và C cố định; A thay đổi. Tìm vị trị của A sao cho tam giác AEH có diện tích lớn nhất.

Bài 5 (0,5 điểm) : Với các số dương x, y, z, t thỏa mãn x + y + z + t = 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Bộ Đề thi Toán lớp 9 Học kì 2 năm 2021 - 2022 (15 đề)

__________________________________________________________________________

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Đề khảo sát chất lượng Học kì 2

Năm học 2022 - 2023

Môn: Toán 9

Thời gian làm bài: 90 phút

Đề thi Học kì 2 Toán lớp 9 có đáp án - (Đề số 14)

Bài 1 (2,0 điểm) : Cho hai biểu thức Bộ Đề thi Toán lớp 9 Học kì 2 năm 2021 - 2022 (15 đề) với x ≥ 0, x ≠ 9

a) Tính giá trị của biểu thức A khi Bộ Đề thi Toán lớp 9 Học kì 2 năm 2021 - 2022 (15 đề)

b) Rút gọn biểu thức B

c) Cho P = A Tìm x để P < 3.

Bài 2 (2,0 điểm) : Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Hai công nhân cùng làm chung một công việc thì trong 8 giờ xong việc. Nếu mỗi người làm một mình, để hoàn thành công việc đó thì người thứ nhất cần nhiều hơn người thứ hai là 12 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu giờ xong công việc đó?

Bài 3 (2,5 điểm) :

1) Giải hệ phương trình Bộ Đề thi Toán lớp 9 Học kì 2 năm 2021 - 2022 (15 đề)

2) Cho phương trình x² - 2(m + 1)x + 2m = 0 (1) (x là ẩn số, m là tham số)

Bài 4 (3,0 điểm) : Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi H là điểm nằm giữa O và B. Kẻ dây CD vuông góc với AB tại H. Trên cung nhỏ AC lấy điểm E bất kỳ (E khác A và C). Kẻ CK vuông góc với AE tại K. Đường thẳng DE cắt CK tại F.

1) Chứng minh tứ giác AHCK là tứ giác nội tiếp

2) Chứng minh KH song song với ED và tam giác ACF là tam giác cân.

3) Tìm vị trí của điểm E để diện tích tam giác ADF lớn nhất.

Bài 5 (0,5 điểm) :

Giải phương trình Bộ Đề thi Toán lớp 9 Học kì 2 năm 2021 - 2022 (15 đề)

__________________________________________________________________________

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Đề khảo sát chất lượng Học kì 2

Năm học 2022 - 2023

Môn: Toán 9

Thời gian làm bài: 90 phút

Đề thi Học kì 2 Toán lớp 9 có đáp án - (Đề số 15)

Bài 1 (2,5 điểm) : Cho biểu thức Bộ Đề thi Toán lớp 9 Học kì 2 năm 2021 - 2022 (15 đề) với x > 0, x ≠ 4 .

a) Tính giá trị của A khi

b) Rút gọn biểu thức B

c) Cho Bộ Đề thi Toán lớp 9 Học kì 2 năm 2021 - 2022 (15 đề) Tìm x để .

Bài 2 (2,0 điểm) : Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Một xí nghiệp theo kế hoạch phải sản xuất 75 sản phẩm trong một số ngày dự định. Trong thực tế, do cải tiến kĩ thuật nên mỗi ngày xí nghiệp làm vượt mức 5 sản phẩm, vì vậy không những họ đã làm được 80 sản phẩm mà còn hoàn thành sớm hơn kế hoạch 1 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày xí nghiệp đó sản xuất bao nhiêu sản phẩm?

Bài 3 (2,5 điểm) : Cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = (2m + 1)x - 2m

a) Xác định tọa độ giao điểm của (d) và (P) khi m = 1

b) Tìm m để (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt M(x₁;y₁) và N(x₂;y₂) sao cho y₁ + y₂ - x₁x₂ = 1

Bài 4 (3,0 điểm) : Cho điểm M cố định nằm bên ngoài đường tròn (O; R). Qua M vẽ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (O) (với A, B là các tiếp điểm). Gọi C là điểm bất kì trên cung nhỏ AB của đường tròn (O). Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB, MA, MB.

1) Chứng minh bốn điểm A, D, C, E cùng thuộc một đường tròn.

2) AC cắt DE tại P; BC cắt DF tại Q. Chứng minh ΔPAE ΔPDC suy ra PA.PC = PD.PE

3) Chứng minh AB // PQ

4) Khi điểm C di động trên cung nhỏ AB của đường tròn (O) thì trọng tâm G của tam giác ABC di chuyển trên đường nào?

Bài 5 (0,5 điểm) : Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c = 7, ab + bc + ca = 15

Chứng minh rằng: Bộ Đề thi Toán lớp 9 Học kì 2 năm 2021 - 2022 (15 đề)