Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng

A. Phương pháp giải

Cho 2 đường thẳng cắt nhau: (d₁) A₁x + b₁y + C₁ = 0 và (d₂): A₂x + B₂y + C₂ = 0.

Phương trình các đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng đó là:

Chú ý:

Cho đường thẳng ∆: Ax + By + C = 0 và hai điểm A(x_A; y_A); B(x_B;y_B ).

Đặt f(x;y) = A_x + B_y + C:

+ A và B nằm về cùng một phía đối với ∆ ⇔ f(x_A; y_A). f(x_B; y_B) > 0

+ A và B nằm khác phía đối với ∆ ⇔ f(x_A; y_A). f(x_B; y_B) < 0

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho đường thẳng d: 3x + 4y – 5 = 0 và 2 điểm A( 1; 3) ; B( 2; m) . Tìm m để A và B nằm cùng phía đối với d?

A. m < 0    B. m > -     C. m > 1    D. m = - 

Hướng dẫn giải

Hai điểm A và B nằm về hai phía của đường thẳng d khi và chỉ khi:

( 3 + 12 - 5)( 6 + 4m - 5) < 0 hay m > - 

Chọn B.

Ví dụ 2. Cặp đường thẳng nào dưới đây là phân giác của các góc hợp bởi 2 đường thẳng ∆₁: x + 2y - 3 = 0 và ∆₂: 2x – y + 3 = 0.

A. x + 3y - 2 = 0 và x = 3y.    B. 3x = - y và x - 3y - 6 = 0.

C. 3x + y = 0 và –x + 3y - 6 = 0.    D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Gọi M(x; y) là điểm thuộc đường phân giác tạo bởi 2 đường thẳng đã cho.

⇒ d(M,Δ₁) = d(M,Δ₂) ⇒ 

⇒ x + 2y - 3 = ± (2x - y + 3) ⇒ 

Chọn C.

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có AB: 2x - y + 4 = 0; AC: x - 2y - 6 = 0 và hai điểm B; C thuộc Ox. Phương trình phân giác ngoài của góc BAC là

A. 3x - 3y - 2 = 0    B. x + y + 10 = 0    C. 3x + 3y + 2 = 0    D. x + y - 2 = 0

Hướng dẫn giải:

Do hai điểm B và C thuộc Ox nên tọa độ hai điểm đó là : B(-2; 0) và C(6; 0).

Gọi M( x; y) thuộc đường phân giác của góc BAC

Ta có: d(M, AB) = d(M, AC) ⇔  ⇔ |2x - y + 4| = |x - 2y - 6|

⇔ 

+ Xét vị trí của hai điểm B và C đối với đường thẳng x + y + 10 = 0.

Ta có : (-2 + 0 + 10).( 6 + 0 + 10) > 0 nên hai điểm B và C nằm cùng phía so với đường thẳng x + y + 10 = 0.

Suy ra đường thẳng x + y + 10 = 0 là đường phân giác ngoài của góc BAC.

Chọn B.

Ví dụ 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(0; 2) , B( 1; 2) và C(3; 6 ) . Phương trình đường phân giác trong của góc A là:

A. 2x + y - 2 = 0    B. x - 2y + 4 = 0    C. 2x + y - 4 = 0    D. Đáp án khác

Lời giải

+ Ta viết phương trình đường thẳng AB và AC:

Đường thẳng AB : 

⇒ ( AB) : 0(x - 0) + 1(y - 2) = 0 hay y - 2 = 0

Đường thẳng AC : 

⇒ ( AC) : 4(x - 0) – 3(y - 2) = 0 hay 4x - 3y + 6 = 0

Suy ra các đường phân giác góc A là: 

⇔ |4x - 3y + 6| = 5|y - 2|

Đặt f( x; y) = x - 2y + 4

⇒ f( B).f( C) =( 1 - 2.2 + 4) ( 3 - 2.6 + 4) = -5 < 0

⇒ B và C nằm khác phía so với đường thẳng : x - 2y + 4 = 0.

suy ra đường phân giác trong góc A là x - 2y + 4 = 0

Chọn B.

Ví dụ 5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A( 1; 5) ; B( -4; -5) và C( 4; -1) . Phương trình đường phân giác ngoài của góc A là:

A. y + 5 = 0    B. y - 5 = 0    C. x + 1 = 0    D. x - 1 = 0

Lời giải

+ Ta viết phương trình đường thẳng AB và AC:

Đường thẳng AB : 

⇒ ( AB) : 2( x - 1) – 1.( y - 5) = 0 hay 2x - y + 3 = 0

Đường thẳng AC : 

⇒ ( AC) : 2( x - 1) + 1( y - 5) = 0 hay 2x + y - 7 = 0

Suy ra các đường phân giác góc A là: 

⇔ |2x - y + 3| = |2x + y - 7|

⇔ 

Đặt f( x; y) = y - 5

⇒ f(B).f(C) = ( -5 - 5).( -1 - 5) = 60 > 0

⇒ B và C nằm cùng phía so với đường thẳng : y - 5 = 0.

suy ra đường phân giác ngoài góc A là y - 5 = 0

Chọn B.

Ví dụ 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d₁: 3x - 4y - 3 = 0 và d₂ : 12x + 5y - 12 = 0. Phương trình đường phân giác góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng d₁ và d₂ là:

A. 3x + 11y - 3 = 0    B. 11x - 3y - 11 = 0    C. 3x - 11y - 3 =0    D. 11x + 3y - 11 = 0

Lời giải

Các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng d₁ và d₂ là:

 ⇔ 13|3x - 4y - 3| = 5|12x + 5y - 12| .

Gọi I là giao điểm của d₁ và d₂; tọa độ I là nghiệm hệ

 ⇒ I( 1;0)

+ Gọi đường thẳng d: 3x + 11y - 3 = 0. Lấy điểm M(-10; 3) thuộc đường thẳng d.

Gọi H là hình chiếu của M lên d₁.

Ta có: IM =  và

MH = d(M;d₁ ) =  = 9

Suy ra 

Suy ra d: 3x + 11y - 3 = 0 là đường phân giác góc tù nên đường phân giác góc nhọn là 11x - 3y - 11 = 0.

Chọn B.

Ví dụ 7. Cho hai đường thẳng d: x + 2y + 3 = 0 và d’: 2x + y + 3 = 0. Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi d và d’ là:

A. x + y = 0 và x – y + 4 = 0 .    B. x - y + 4 = 0 và x + y - 2 = 0 .

C. x + y + 2 = 0 và x - y = 0    D. x + y + 1 = 0 và x - y - 3 = 0 .

Hướng dẫn giải

Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi d và d’ là:

Vậy phương trình các đường phân giác tạo bởi d và d’ là :

x - y = 0 và x + y + 2 = 0

Chọn C.