Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc

A. Phương pháp giải

Cho đường thẳng ∆ và điểm M(a; b). Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với đường thẳng ∆ một góc α.

+ Cách 1:

    - Gọi n→(A; B) là VTPT của đường thẳng d.

    Tìm VTPT n'→( A’; B’) của đường thẳng ∆.

    - Do góc giữa đường thẳng d và ∆ bằng α nên:

    Cosα = 

    Giải phương trình trên ta được A = k.B. Chọn A =.... ⇒ B..

⇒ VTPT của đường thẳng d

⇒ Phương trình đường thẳng d.

+ Cách 2:

    - Đường thẳng ∆ có hệ số góc k₁.

    - Giả sử đường thẳng d có hệ số góc k₂.

    - Do góc giữa hai đường thẳng d và ∆ là α nên :

    Tanα = 

    Phương trình trên là phương trình ẩn k₂. Giải hệ phương trình ta được k₂

⇒ Phương trình đường thẳng d.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 : Cho đường thẳng d : 3x - 4y - 12 = 0. Phương trình các đường thẳng qua
M(2 ; -1) và tạo với d một góc  là

A. 7x - y - 15 = 0 ; x + 7y + 5 = 0    B. 7x + y - 15 = 0 ; x - 7y + 5 = 0

C. 7x - y + 15 = 0 ; x + 7y - 5 = 0    D. 7x + y + 15 = 0 ; x - 7y - 5 = 0

Lời giải

Gọi n→( A , B) và A² + B² > 0 là véc tơ pháp tuyến của ∆

Đường thẳng d có VTPT n'→( 3 ; -4)

Ta có: 

⇔ 7A² + 48AB - 7B² = 0 ⇔ 

+ Với B = 7A chọn A = 1 ; B = 7 ⇒ (d) : qua M(2 ; -1) và VTPT (1 ; 7)

⇒ Phương trình (d) : 1( x - 2) + 7( y + 1) = 0 hay x + 7y + 5 = 0

+ Với A = - 7B chọn A = 7 ; B = - 1 ⇒ (d) đi qua M( 2 ; -1) và VTPT ( 7 ; -1)

⇒ Phương trình (d) : 7( x - 2) – 1( y + 1) = 0 hay 7x - y - 15 = 0

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn là : x + 7y + 5 = 0 và 7x - y - 15 = 0.

Chọn A.

Ví dụ 2. Viết phương trình đường thẳng (d) qua M( -1; 2) và tạo với trục Ox một góc 60⁰.

A. √3x - y + √3 + 2 = 0    B. √3x - y - √3 + 2 = 0

C. √3x - y + 2 = 0    D. √3x + y - √3 + 2 = 0

Lời giải

Do (d) tạo với trục Ox một góc 60⁰ nên có hệ số góc k = tan 60⁰ = √3.

Phương trình d là: y = √3(x + 1) + 2 ⇔ √3x - y + √3 + 2 = 0 .

Chọn A.

Ví dụ 3. Biết rằng có đúng hai giá trị của tham số k để đường thẳng d: y = kx tạo với đường thẳng ∆: y = x một góc 60⁰. Tổng hai giá trị của k bằng:

A. - 8    B. - 4    C. - 1    D. 1

Lời giải

Ta có đường thẳng d : y = kx ⇔ kx - y = 0 nên d nhận VTPT n_d→( k; -1)

Đường thẳng ∆ : y = x hay x - y = 0 nên ∆ nhận VTPT n_∆→( 1; -1)

Để hai đường thẳng này tạo với nhau góc 60⁰ thì:

( n_d→; n_∆→) = 60⁰ ⇒ cos(n_d→; n_∆→)= cos 60⁰

 = cos60⁰ =  ⇔ k² + 1 = 2k² + 4k + 2 ⇔ k² + 4k + 1 = 0

Phương trình trên có hai nghiệm phân biệt theo hệ thức Vi- et ta có: k₁ + k₂ = - 4

Chọn B.

Ví dụ 4: Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M(1;1) và tạo một góc 45⁰ với đường thẳng d: x - y + 90 = 0

A. x - 1 = 0    B. y - 1 = 0    C. x + y - 2 = 0    D. Cả A và B đúng

Lời giải

+ Đường thẳng d có VTPT n→(1; -1) .

+ Gọi VTPT của ∆ là n'→(a; b) .

+ Do góc giữa hai đường thẳng d và ∆ là 45⁰ nên:

cos45⁰ = 

⇔  = |a - b| ⇔ a² + b² = a² - 2ab + b²

⇔ - 2ab = 0 ⇔ a = 0 hoặc b = 0

+ Nếu a = 0; chọn b = 1.

Đường thẳng ∆: 

⇒ Phương trình ∆: 0(x - 1) + 1( y - 1) = 0 hay y - 1 = 0

+ Nếu b = 0; chọn a = 1.

Đường thẳng ∆: 

⇒ Phương trình ∆: 1(x - 1) + 0( y - 1) = 0 hay x - 1 = 0

Chọn D.

Ví dụ 5: Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M(5; 1) và tạo thành một góc 45⁰ với đường thẳng d: y = -2x + 4

A. y = 3x - 10    B. y = 3x - 14    C. y =  x +     D. Cả B và C đúng

Lời giải

Hệ số góc của đường thẳng d là k₁ = -2.

Gọi hệ số góc của đường thẳng ∆ là k₂.

Do góc giữa hai đường thẳng là 45⁰ nên :

Tan45⁰ =  ⇔ 1 = 

⇔ 

+ Với k₂ =  ; đường thẳng ∆ qua M(5; 1) và hệ số góc k₂ nên có phương trình :

y=  ( x - 5) + 1 hay y =  x + 

+ Với k₂ = 3 đường thẳng ∆ qua M(5; 1) và hệ số góc k₂ nên có phương trình :

y = 3( x - 5) + 1 hay y = 3x - 14

chọn D.

Ví dụ 6: Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M(2; 1) và tạo thành một góc 45⁰ với đường thẳng d: 2x + 3y + 4 = 0

A. y = -5x - 10    B. y = -5x + 11    C. y =  x +     D. Cả B và C đúng

Lời giải

Hệ số góc của đường thẳng d là k₁= - 

Gọi hệ số góc của đường thẳng ∆ là k₂.

Do góc giữa hai đường thẳng là 45⁰ nên :

Tan45⁰ =  ⇔ 1 = 

⇔ 

+ Với k₂ =  ; đường thẳng ∆ qua M(2; 1) và hệ số góc k₂ nên có phương trình :

y =  ( x - 2) + 1 hay y =  x + 

+ Với k₂ = -5 đường thẳng ∆ qua M(2; 1) và hệ số góc k₂ nên có phương trình :

y = - 5( x - 2) + 1 hay y = -5x + 11

Chọn D.